การเรียงสับเปลี่ยน

[PoSh]

ครูคนหนึ่งมีสมุดที่แตกต่างกัน 8 เล่ม ต้องการแบ่งสมุดทั้งหมดให้กับนักเรียน 3 คน โดยที่นักเรียนแต่ละคนได้รับสมุดอย่างน้อย 1 เล่ม ครูจะมีวิธีแบ่งกี่วิธี ช่วยแนะนำหน่อยครับบ คิดไม่ออก

[mebius]

ไม่รู้ว่าถูกไหมครับ
$\frac{8!}{1!1!6!} +\frac{8!}{1!2!5!} ++\frac{8!}{1!3!4!}+\frac{8!}{2!2!4!} +\frac{8!}{2!3!3!}$
มือใหม่เหมือนกันครับ

[PoSh]

ช่วยลงรายละเอียดหน่อยได้ไหมครับ ? พอดีผมไม่ค่อยเข้าใจเรื่องนี้เท่าไหร่อ่ะครับ

[กิตติ]

คงต้องแจกแจงเป็นกรณีคือ
1.$1,1,6$
2.$1,2,5$
3.$1,3,4$
4.$2,2,4$
5.$3,2,3$

$\frac{8!3!}{1!1!6!2!} +\frac{8!3!}{1!2!5!} ++\frac{8!3!}{1!3!4!}+\frac{8!3!}{2!2!4!2!} +\frac{8!3!}{2!3!3!2!}$

[mebius]

ผมก็ไม่ค่อยเก่งหรอกครับ
รู้แต่สูตรการแบ่งแล้วลองทำดูครับ
เดี๋ยวให้จอมยุทธ์มาชี้แนะอีกทีครับ

[PoSh]

อ่อครับบบ ขอบคุณมากครับ ผมเข้าใจแล้วครับ

[กิตติ]

ถ้าคิดแบบคุณyellow อาจมีการนับซ้ำได้อย่างเช่น เล่มที่1แจกให้คนที่หนึ่งแล้วพอรอบที่แจก5เล่มที่เหลือคนแรกได้เล่มที่8
มันจะซ้ำกับเล่มที่ 8ที่ถูกแจกให้คนที่หนึ่งแล้วพอรอบที่แจก5เล่มที่เหลือคนแรกได้เล่มที่1

[Amankris]

เคยพูดไปแล้ว ใน L I N K นี้ ครับ

[tongkub]

= วิธีที่จะแจกทั้งหมด - แจกโดยมีบางคนอดได้

= $3^8 - (แจกโดยบางคนอดได้)$

=$ 3^8 - \binom{3}{2}2^8 + \binom{3}{1}1^8 + \binom{3}{0}(0^8) $

=$3^8 - 3(2^8) + 3 $

= 6561 - 3(256) + 3 = 5796 วิธี

มาอธิบายเพิ่มเติมนะครับ

วิธีทั้งหมดคือการแตกกิ่งครับ หนังสือแต่ละเล่มเลือกได้ ว่าจะเป็น A , B , C ได้ $3^8$ วิธี

แล้วลบออกด้วยวิธีที่มีบางคนได้

มีกรณีที่ A อดได้ ก็จะเลือก B หรือ C ได้ $2^8$ วิธี
มีกรณีที่ B อดได้ ก็จะเลือก A หรือ C ได้ $2^8$ วิธี
มีกรณีที่ C อดได้ ก็จะเลือก A หรือ B ได้ $2^8$ วิธี

ได้ $3\times 2^8 $วิธี

แต่เราหักออกเกินไป คือบางทีกรณี C ได้หมด 8 เล่มเลย มันจะไปซ้ำกับ กรณีที่ 2 ที่ C ได้หมดเลย เราต้องบวกด้วยทั้งหมด 3 วิธี ก็จะได้คำตอบอย่างที่เห็นครับ

[กิตติ]

หมายถึงกรณีแรกคนแรกได้เล่มที่ 1 จากการให้เลือกรอบแรก และได้เล่มที่ 8 จากการแจกรอบสอง
กับกรณีที่สองที่คนแรกได้เล่มที่ 8 จากการให้เลือกรอบแรก และได้เล่มที่ 1 จากการแจกรอบสอง
มันเหมือนกันว่าคนแรกได้เล่มที่ 1 กับเล่มที่ 8
จึงน่าจะมีการนับซ้ำ หรือลองสมมุติว่า คนแรกได้หนังสือสามเล่มคือ เล่ม 1,2,3 ได้จากการแจกสองครั้ง ครั้งแรกให้หนึ่งเล่ม ครั้งที่สองให้สองเล่ม
1.$1/2,3$
2.$2/1,3$
3.$3/1,2$

[lek2554]

มาช่วยพี่กิตติ เรียบเรียงคำพูดนะครับ

หัวข้อนี้ จะมีเนื้อหาอยู่ 2 แบบ คือ การแบ่งกลุ่ม และการแจกสิ่งของ

การแบ่งกลุ่ม เราจะไม่สนใจ ลำดับที่ ระหว่างกลุ่ม

การแจกสิ่งของ เราจะสนใจ ลำดับที่ระหว่างกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น มีอักษร a,b,c,d ต้องการแบ่งเป็น 3 กลุ่ม ๆ ละ 1,1,2

เราแบ่งเป็น a/b/c,d หรือแบ่งเป็น b/a/c,d หรือแบ่งเป็น a/c,d/b ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน

ทีนี้การหาจำนวนวิธีในการแบ่ง เราก็ใช้วิธีเลือกสิ่งของมาทีละกล่ม

ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษร 1 ตัว จากทั้งหมด 4 ตัว มาเป็นกลุ่มที่ 1 สามารถเลือกทำได้ $\binom{4}{1}$ วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษร 1 ตัว จากที่เหลือ 3 ตัว มาเป็นกลุ่มที่ 2 สามารถเลือกทำได้ $\binom{3}{1}$ วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกอักษร 2 ตัว จากที่เหลือ 2 ตัว มาเป็นกลุ่มที่ 3 สามารถเลือกทำได้ $\binom{2}{2}$ วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีในการแบ่งกลุ่มจะเท่ากับ $\binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{2}=\frac{4!}{1!3!}\times \frac{3!}{1!2!} = \frac{4!}{1!1!2!} $ วิธี

แต่ในการคิดแบบนี้ จะมีการนับซ้ำ คือ

ถ้าขั้นตอนที่ 1 เลือกได้ a ขั้นตอนที่ 2 เลือกได้ b ขั้นตอนที่ 3 เลือกได้ c,d

กับถ้าขั้นตอนที่ 1 เลือกได้ b ขั้นตอนที่ 2 เลือกได้ a ขั้นตอนที่ 3 เลือกได้ c,d

จะเห็นว่าคำตอบที่ได้ มีการคิดลำดับในขั้นตอนที่ 1 กับขั้นตอนที่ 2 ซึ่งสลับที่กันได้ 2! วิธี

แต่การแบ่งกลุ่มเราไม่สนใจลำดับที่ระหว่างกลุ่ม จึงต้องทำลายลำดับที่เราคิดไปโดยการหารคำตอบที่ได้ด้วย 2!

คำตอบที่ถูกต้องจึงเป็น $\frac{4!}{1!1!2!(2!)}$ วิธี

แต่ถ้าต้องการนำ 3 กลุ่มที่แบ่งได้ไปแจกให้คน 3 คน คือ ก,ข,ค

ก/ข/ค ได้ a/b/c,d ได้ b/a/c,d ได้ c,d/a/b ได้ c,d/b/a ได้ a/c,d/b ได้ b/c,d/a ถือว่าไม่เหมือนกัน

ดังนั้นถ้าต้องการนำ 3 กลุ่มที่แบ่งได้ไปแจกให้คน 3 คน คือ ก,ข,ค เราต้องคิดลำดับที่ระหว่างกลุ่มด้วย ซึ่งก็คือนำ 3 กลุ่มที่แบ่งได้ มาสลับที่แจกให้ ก,ข,ค ได้ 3! วิธี

จำนวนวิธีในการแจกจึงเป็น $\frac{4!}{1!1!2!(2!)}\times 3!$ วิธี

(น่าจะย้ายกระทู้นี้ไปรวมกับกระทู้ โจทย์การแบ่งกลุ่ม ม.ปลาย ครับ ที่ตั้งโดย คุณยังห่างไกลจากความเป็นเทพ นะครับ เพราะโจทย์เหมือนกัน จะได้อ่านต่อเนืองกันไป)

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณเล็ก ผมเขียนสั้นไปหน่อยเลยต้องรบกวนคุณเล็กออกแรงอธิบาย
ผมว่าที่อธิบายน่ะเคลียร์มากเลยครับ