โจทย์ปัญหาที่ค้างคาใจ(ยาก+สวย+ปิ๊ง)

['' ALGEBRA '']

1.) log[(x-1)^2] = log(5^8) / log(4x-4) จงหา x

ขอวิธีทำนะคับ ผมแทนค่าแล้ว ได้ 26 แต่คิดวิธีทำไม่ออกคับ

2.) y=sin(2pi + x) และ y=3^0.5 cos(2pi + x) ; -2pi น้อยกว่าเท่ากับ x น้อยกว่าเท่ากับ 2pi
จงหาจุดตัดของ x,y
งงๆกะข้อนี้คับ

3.)ยาก!!! ข้างบนของinคือ2^0.5 ข้างล่างของinคือ0
(intigrate) = in = I

I ของ x^(2^0.5) / [ x^(2^0.5) + (2^0.5 - x)^(2^0.5) ] dx

หวังว่าคงจะเข้าใจกันนะคับ
(ยกกำลังติดรูทข้อนี้ไม่ธรรมดาเลย) ผมอยากรู้วิธีทำข้อนี้มากเลยคับ?????

4.) กำหนดจุด12จุดบนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง และลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดทุกคู่ ถ้าสุ่มเลือกส่วนของเส้น
ตรงเหล่านี้มา4เส้น แล้วความน่าจะเป็นที่ส่วนของเส้นตรงที่สุ่มเลือกมานี้3เส้นประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุด
ยอดเป็นจุดในบรรดา12จุดที่กำหนดไว้แต่แรกจะมีค่าเท่ากับเท่าใด(ตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ)

5.) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและสมมติว่าเรามีเหรียญอยู่เป็นจำนวน n^2 เหรียญ ซึ่งในจำนวนนี้เป็นเหรียญห้าบาท
อยู่ n เหรียญ ถ้านำเหรียญทั้งหมดมาจัดวางเป็นแถวจำนวน n แถว แถวละ n เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ได้จาก
การจัดวางเหรียญซึ่งในแต่ละแถวมีเหรียญห้าบาทอยู่แถวละหนึ่งเหรียญ

6.) จำนวนทั้งหมดของจำนวนเต็มบวก n ที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 80 ที่ทำให้ตัวหารร่วมของ (n^2) +5 และ n+4 เป็น
จำนวนเฉพาะเท่ากับเท่าใด

7.) กำหนด f เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนนับไปยังเซตของจำนวนนับโดย
f(n)=1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
f(n)=1+f(n/2) เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
จงหาว่า ตัวบนซิกมาคือ2553 ตัวล่างซิกมาคือn=2010 ของ f(n) มีค่าเท่าใด

ต่อไปนี้จะเป็นโจทย์สวยๆนะคับ

8.) ให้ x เป็นจำนวนจริงซึ่ง lxl < 1 ถ้า
1+(1+x)/2 + (1+x+x^2)/(2^2) + (1+x+x^2 +x^3)/(2^3) + ... = 16/7
จงหา x

9.)สวยคับ!! ถ้าวาดวงกลม 2010 รูปโดยที่รูปแรกมีรัศมี 4 หน่วย รูปที่ n+1 มีรัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของรูปที่ n และมีจุด
ศูนย์กลางอยู่บนวงกลมรูปที่ n และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมรูปแรกและจุดศูนย์กลางของวงกลมรูป
สุดท้าย มีค่าสูงสุดเท่ากับ 2^x - 2^y แล้ว x+y มีค่าเท่าใด

10.)ยาก!! ถ้า e^-x = ซิกมา n=0 ถึง อินฟินิตี้ ของ{[(-1)^n]x^n}/n! แล้วผลต่างระหว่าง สปส.ของx^2 ในซิกมา k=1 ถึง 8 ของ e^(((2^k) +1)x) กับ 2^11 + 2^13 + 2^15 มีค่าเท่าใด

11.)ปิ๊ง!! ถ้าสปส.ของ x^2010 จากการกระจาย
(1+x)^4021 + x(1+x)^4020 + (x^2)(1+x)^4019 +...+ (x^2011)(1+x)^2010
มีค่าเท่ากับ n เลือก r แล้ว n+r มีค่าเท่าใด

12.)ปิ๊งโคด!! ซิกมา i=0 ถึง 2553 ของ[(2^(i+2))/(i+2)][2554 เลือก (i+1)] มีค่าเท่าใด

13.) ถ้า 0 น้อยกว่าเท่ากับ x น้อยกว่าเท่ากับ 2pi แล้วผลบวกของคำตอบของสมการ
(3^0.5)sin(pi-x) + sin(2x) - 3^0.5 + cos(pi+x) - 2cos(3x)cos(2x) + cos(5x) = 0
มีค่าเท่าใด

14.) ให้ Z1,Z2,Z3,Z4 เป็นรากของสมการ (Z^4) + (Z^2) + 2 = 0 แล้ว lZ1l+lZ2l+lZ3l+lZ4l มีค่าเท่าใด

15.) sin^3(1') + sin^3(2') + sin^3(3') +...+ sin^3(360') เท่ากับเท่าใด
( ' = องศา)

เสร็จแล้ว!!! ขอโทษด้วยนะคับที่ทำให้อ่านยาก ผมใช้ลาเทกซ์ไม่เป็นอ่าเพราะว่ายังไม่ได้เรียนรู้เลยขอให้หลังเอนท์ก่อน

[กิตติ]

ช่วยใส่เครื่องหมาย $ ปิดหน้าหลัง(หัวท้าย)ตรงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ครับ
มันจะแสดงแบบที่เราเขียนกันครับ

[กิตติ]

1.) $log[(x-1)^2] = \dfrac{\log(5^8)}{\log(4x-4)} $
จงหา $x$

ผมได้สองคำตอบคือ $x=26,\frac{101}{100} $
ลองแทนค่าแล้วได้ทั้งสองค่า
ขอบเขตค่า $x$ คือ $x>1$

$2\log(x-1) = \dfrac{8\log(5)}{2\log2+\log(x-1)} $

$\log(x-1) = \dfrac{4(1-\log2)}{2\log2+\log(x-1)}$

$(\log(x-1))^2+2\log2(\log(x-1))-4(1-\log2)=0$

$\log(x-1)=\dfrac{-2\log2\pm \sqrt{(2\log2)^2+16(1-\log2)} }{2} $

$=-\log2\pm \sqrt{(\log2)^2+4(1-\log2)}$

$=-\log2\pm \sqrt{(\log2)^2-4\log2+4}$

$=-\log2\pm \sqrt{(\log2-2)^2}$

$=-\log2\pm \sqrt{(\log\frac{1}{50} )^2}$

$=-\log2\pm\left|\,\log\frac{1}{50}\right| $

$=-\log2\pm\left|\,-\log(50)\right|$

$=-\log2\pm\log(50)$

$=-\log2\pm(2-\log2)$

$=-2,(2-2\log2)$

$\log(x-1)=-2 \rightarrow x=\frac{101}{100}$

$\log(x-1)=2-2\log2 \rightarrow \log(x-1)=\log25 \rightarrow x=26$....เพราะฟังก์ชั่นลอการิธึมเป็นฟังก์ชั่น 1-1

[กิตติ]

5.) ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและสมมติว่าเรามีเหรียญอยู่เป็นจำนวน $n^2$ เหรียญ ซึ่งในจำนวนนี้เป็นเหรียญห้าบาท
อยู่ $n$ เหรียญ ถ้านำเหรียญทั้งหมดมาจัดวางเป็นแถวจำนวน $n$ แถว แถวละ $n$ เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ได้จาก
การจัดวางเหรียญซึ่งในแต่ละแถวมีเหรียญห้าบาทอยู่แถวละหนึ่งเหรียญ

ข้อนี้คุ้นๆว่าเป็นข้อสอบสอวน.ของมช.หรือที่ไหนสักที่เมื่อปีที่แล้ว.....จำไม่ได้้คุ้นมากๆ

15.) $sin^3(1^\circ ) + sin^3(2^\circ) + sin^3(3^\circ) +...+ sin^3(360^\circ)$ เท่ากับเท่าใด
ขอลองเอาไปคิดก่อน
จาก$\sin3\theta =3\sin\theta-4\sin^3\theta$
$\sin^3\theta=\frac{1}{4}(3\sin\theta-\sin3\theta) $
จากโจทย์เราจะแยกหาเป็น
$sin(1^\circ ) + sin(2^\circ) + sin(3^\circ) +...+ sin(360^\circ)$
กับ $sin(3^\circ ) + sin(6^\circ) + sin(9^\circ) +...+ sin(3\times 360^\circ)$
แล้วหาทีละอนุกรมก็ได้ .....ลองดูหัวข้อพิเศษเรื่องอนุกรมตรีโกณมิติ

เพิ่งสังเกตวิธีสั้นๆง่ายเจอว่าจาก
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
ถ้าหาให้เจอว่ามี $a+b=0$ ได้ก็จบ
ลองดูแค่ $\sin(1^\circ ) $ จับคู่กับ$\sin 359^\circ=\sin (360^\circ-1^\circ)=-sin(1^\circ )$
เราจะจับคู่ได้$1^\circ-359^\circ,2^\circ-358^\circ,...,89^\circ-271^\circ$
$91^\circ-269^\circ,92^\circ-268^\circ,...,179^\circ-181^\circ$
ซึ่งผลรวมของในสองชุดนี้ เท่ากับ $0$
กับเหลือมุมอีก 3 จุดคือ $90^\circ,180^\circ,270^\circ,360^\circ$
$\sin^390^\circ=1,\sin^3180^\circ=0,\sin^3270^\circ=-1,\sin^3360^\circ=0$

คำตอบเท่ากันทั้งสองวิธี คือ $0$.....ใช้วิธีที่สองง่ายกว่า

[wee]

เฉลยข้อที่ 1 สำหรับผมขอใช้เรื่ิองการสมมติตัวแปรขึ้นมาใหม่ ผสมกับเรื่องการแยกตัวประกอบนะครับ
โดยหลักการแล้ว วิธีนี้ก็คงไม่แตกต่างจากวิธีของคุณกิตติมากนัก
ผมขอนำเสนอเพื่อเป็นทางเลือกก็แล้วกันครับ



$ตรวจคำตอบแล้วเป็นจริงทั้งสองคำตอบ ครับผม$

[กิตติ]

วิธีของคุณweeในข้อ1....ตอนแยกวงเล็บดูง่ายกว่าการใช้สมการสำเร็จรูปเยอะเลย
ผมทำแล้วแยกวงเล็บแล้วงงๆ เลยดุ่มๆใช้สูตรสำเร็จ

ดูโจทย์แล้วตาลาย รอเจ้าของกระทู้มาแก้ก่อน คงสบายตาขึ้น

[wee]

ข้อที่ 2 ครับผม


$ผมได้ทำกราฟเอาไว้ให้ดูเปรียบเทียบด้วยครับ$
$โดยคำตอบคือจุดสีดำ ครับผม$

[wee]

แก้ไขคำตอบข้อ 2 นิดนึงครับ (ในตอนท้าย ลืมใส่เครื่องหมายติดลบครับผม)

[Keehlzver]

ข้อ 15 มองง่ายๆแบบนี้ก็ได้ครับ $\sin(x)=-\sin(2\pi-x)$ ดังนั้น $\sin^3x+\sin^3(2\pi-x)=0$ เสมอทุกค่า $x$

ข้อ 3 ถามว่า $\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx$ มีค่าเท่ากับเท่าไร
ข้อนี้ผมได้ Idea มาจากพี่ nooonuii ครับ
สมมติ
$\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=I$
ให้ $u=\sqrt{2}-x$ ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า $\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=I$ ด้วย
เพื่อให้ $2I=\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=\int_{0}^{\sqrt{2}}\,1dx=\sqrt{2}$ แล้วก็จะได้ $I=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ก็จะจบ
(เวลาพิสูจน์ก็ทำต่อจาก $u=\sqrt{2}-x$ แล้วจะได้ $\frac{du}{dx}=-1$ ต้องลองไปทำต่อดูเองครับ)

ข้อ 6 โจทย์มันอยากได้ว่ามี $n$ กี่ตัวที่ทำให้ $(n^2+5,n+4)\not = 1$
$n$ ที่สอดคล้องคือ $2,5,8,11,14,17,20,...$ หรือ $3,10,17,24,31,38,...$ มันคือพวกที่ 3 หารแล้วเหลือเศษ 2 และพวก 7 หารแล้วเหลือเศษ 3 สังเกตดูว่ามันจะมีซ้ำกันอยู่คือ 17,34,...,80 คือพวกที่ 21 หารแล้วเหลือเศษ 17 ก็ลองไปนับเอาครับ

ข้อ 5 มันคือการดูตารางหมากรุกแบบ $n\times n$ โดยมีสีดำ $n$ ช่องและสีขาว $n^2-n$ ช่อง โดยที่แถวที่ 1,2,3,...,n มีสีดำเพียง 1 ช่องเท่านั้น ที่เหลือเป็นสีขาว เอาจำนวนวิธีในการทำตารางหมากรุกดังกล่าวหารด้วยจำนวนวิธีในการทำตารางหมากรุกที่ประกอบไปด้วยสีดำ $n$ ช่องและสีขาว $n^2-n$ ช่อง (มันคือกฎการคูณธรรมดาๆ)

ข้อ 8 มันคืออนุกรมผู้ช่วยประธาน (คนที่คอยชงกาแฟอ่ะครับ) คูณกระจายแล้วจัดเอาครับ

ข้อ 9 อาจจะทำยาวหน่อยต้องพิสูจน์ว่าเงื่อนไขที่ทำให้ระยะห่างของจุดศก.วงกลมวงแรกและวงกลมวงสุดท้ายจะมีค่ามากที่สุดก็ต่อเมื่อ... (ถ้าทำไม่ออกลองวาดดูก่อนซัก 3 4 วงก่อนก็ได้ว่าจุดศก.มันต้องอยู่ตำแหน่งไหนระยะห่างจึงจะมากที่สุด)

ข้อ 10 จาก $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$
อยากได้สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^2$ ของ $e^{x(2+1)}+e^{x(2^2+1)}+...e^{x(2^8+1)}$ ก็เอาไปแทนในสูตรอนุกรมข้างบนนั่นแหละครับ แล้วก็คำนวณออกมาโดยใช้คนชงกาแฟคนเมื่อตะกี้นี้

ข้อ 11 ดูแต่ละพจน์ก่อนครับ โดยใช้ทวินามกระจายออกมา สังเกตดูว่าแต่ละพจน์ของ $(1+x)^n$ โดยที่เราต้องการ $x^{2010}$ มันจะมีตัว $x,x^2,...,x^{2011}$ คูณอยู่ข้างหน้าเราต้องไปสนใจพจน์ไหนในการกระจาย เสร็จแล้วก็เอาจัดการคำนวณต่อ

ข้อ 4 มันคือสมาคมคณิตม.ปลาย 2553 ลองค้นในกระทู้สมาคมดูครับ

ส่วนข้อที่เหลือเชิญท่านอื่นครับ พลังหมดขอไปนอนก่อนละ

[-Math-Sci-]

#9

ไม่เก็ทครับ คนชงกาแฟ คืออะไรหรอครับ ? มุก ??

[wee]

เฉลยข้อที่ 3 แนวความคิดของข้อนี้ได้มาจากของคุณ Keehlzver
(ขอบคุณมากครับ ที่ได้ให้ Idea ดีดี ทำให้ผมได้เรียนรู้อีกมากเลยครับ)

[wee]

อนุกรมผู้ช่วยประธาน (คนที่คอยชงกาแฟอ่ะครับ) สงลัยแปลว่า อนุกรมเรขาคณิต

[wee]

ข้อที่ 8 ครับผม

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ wee

อนุกรมผู้ช่วยประธาน (คนที่คอยชงกาแฟอ่ะครับ) สงลัยแปลว่า อนุกรมเรขาคณิต

อ๋อ 55555555 .

ขอบคุณครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 7 คำถามเขียนใหม่ได้ว่า
$\sum_{n = 2010}^{2553} x $ เมื่อ $n = 2^x \bullet y$ ; y เป็นจำนวนคี่

$2010\leqslant n\leqslant 2553$
$n|2^{11}$ มี 1 จำนวน
$n|2^{10}$, $n\nmid 2^{11}$ มี 0 จำนวน
$n|2^9$, $n\nmid 2^{10}$ มี 0 จำนวน
$n|2^8$, $n\nmid 2^9$ มี 1 จำนวน
$n|2^7$, $n\nmid 2^8$ มี 2 จำนวน
$n|2^6$, $n\nmid 2^7$ มี 4 จำนวน
$n|2^5$, $n\nmid 2^6$ มี 9 จำนวน
$n|2^4$, $n\nmid 2^5$ มี 17 จำนวน
$n|2^3$, $n\nmid 2^4$ มี 34 จำนวน
$n|2^2$, $n\nmid 2^3$ มี 68 จำนวน
$n|2^1$, $n\nmid 2^2$ มี 136 จำนวน
$n|2^0$, $n\nmid 2^1$ มี 272 จำนวน

function สำหรับการหาตั้งแต่2011-2553มีกี่จำนวนที่หารด้วย t ลงตัว for gspคิดเอง

$g(x)=trunc\frac{2553}{t}-trunc\frac{2010}{t}+1-sgn(\frac{2010}{t}-trunc\frac{2010}{t})$
ถ้าด้วย t ลงตัวแต่หารด้วย 2t ไม่ลงตัวก็ h(x)=g(x)-g(2x)

$\sum_{n = 2010}^{2553} x = 2048*1+256*1+128*2+64*4+32*9+16*17+8*34+4*68+2*136+272=4192$

ตอบ 4192 (น่าจะมีวิธีง่ายกว่านี้อยู่)