Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 16 เมษายน 2016, 16:48
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default ข้อสอบ สอวน ค่าย 3 ปี 58 (เข้าค่าย เม.ย. 59)

พิมพ์ผิดตรงไหนช่วยทักท้วงให้ด้วยนะครับ






20 เมษายน 2016 17:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 16 เมษายน 2016, 19:03
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For $1)$
Rotate $\triangle{AMC}$ with center so that side $AC$ becomes $BC$, get $\triangle{BM'C}$
Then $\triangle{BM'C}$ is Pompeiu's Triangle
We have $\angle{BM'M}=\angle{BMC}-60^{\circ}=\angle{AMC}-60^{\circ}$
And $\angle{BMM'}=\angle{BMC}-60^{\circ}$
And then we get $\angle{MBM'}=180^{\circ}-\angle{BMM'}-\angle{BM'M}=\angle{AMB}-60^{\circ}$
And let $x$ denote area of that triangle
Consider other $2$ rotations get $3$ triangles outside $\triangle{ABC}$
Then we have $2[ABC]=3x+\frac{\sqrt{3}}{4}(MA^2+MB^2+MC^2)$
Then we use well-known identity that $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\frac{1}{3}(AB^2+BC^2+CA^2)$ for any triangle $ABC$ with centroid $G$ (in this case $G=O$)
The result follow immediately
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 16 เมษายน 2016, 19:12
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For $2)$ It's just angle-chasing
For $3)$, let side length of $ABC$ is $t$, and $AY=a,BZ=b,CX=c$
Law of cosines give us $XY^2+YZ^2+ZX^2=a^2+b^2+c^2+(t-a)^2+(t-b)^2+(t-c)^2-\sum_{cyc}{a(t-b)}$
$=2a^2+2b^2+2c^2+3t^2-3t(a+b+c)+ab+bc+ca\geq (a+b+c)^2-3(a+b+c)t+3t^2\geq (a+b+c-\frac{3}{2}t)^2+\frac{3}{4}t^2\geq \frac{3}{4}t^2$ with equality hold when $a=b=c$ and $a+b+c=\frac{3}{2}t$

16 เมษายน 2016 19:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ThE-dArK-lOrD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 17 เมษายน 2016, 19:38
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก 12 ตัวของ $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,\ 2\cdot a_{10}\}$ แล้วได้เซตซ้ำที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $8$ ชนิด (10 คะแนน)

อย่างเช่นอะไรหรือครับ.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 18 เมษายน 2016, 00:25
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon View Post
1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก 12 ตัวของ $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,\ 2\cdot a_{10}\}$ แล้วได้เซตซ้ำที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $8$ ชนิด (10 คะแนน)

อย่างเช่นอะไรหรือครับ.
พิมพ์ผิดครับ ต้องเป็น $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,...,\ 2\cdot a_{10}\}$ ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 20 เมษายน 2016, 00:13
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

Ie.2 จะได้ $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$

หรือก็คือ $(\frac{a+1}{a-1})(\frac{b+1}{b-1})(\frac{c+1}{c-1})(\frac{d+1}{d-1})=1$

เราจะได้ว่าจากที่ค่าสัมบูรณ์ $>1$ จะได้ว่า $\frac{a+1}{a-1},\frac{b+1}{b-1},\frac{c+1}{c-1},\frac{d+1}{d-1}>0$

และอสมการที่เราต้องการ คือ

$$\frac{2}{a-1}+\frac{2}{b-1}+\frac{2}{c-1}+\frac{2}{d-1}>0$$

$+4$ เข้าไปทั้งสองข้างจะได้อสมการสมมูลกับอสมการ

$$\frac{a+1}{a-1}+\frac{b+1}{b-1}+\frac{c+1}{c-1}+\frac{d+1}{d-1}>4$$

ซึ่งเป็นจริงจาก $AM-GM$ (ใช้อสมการนี้ได้เพราะทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวก)
__________________
I'm Back

20 เมษายน 2016 00:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 20 เมษายน 2016, 17:29
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ลงครบ 5 วันแล้วนะครับ ใครอยากเฉลยเชิญตามสะดวกครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 21 เมษายน 2016, 01:05
pont494 pont494 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2011
ข้อความ: 405
pont494 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
Algebra
1. จงหาจำนวนจริง $a,b$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^4-3ax^3+ax+b$ หารด้วย $x^2-1$ แล้วเหลือเศษ $(a^2+1)x+3b^2$ (10 คะแนน)
$x^4-3ax^3+ax+b$ หารด้วย $x^2-1$ จะเหลือเศษ $-2ax-b+1$
จะได้ $a^2+1=-2a$ และ $3b^2=-b+1$
$\therefore (a,b)$ ได้แก่ $ (-1,\frac{-1+\sqrt{13} }{6}) $ และ $ (-1,\frac{-1-\sqrt{13} }{6} )$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 21 เมษายน 2016, 15:24
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
3. จงหาฟังก์ชัน 1-1 $f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้

$f(x+f(y))=g(x)+h(y)$

$g(x+g(y))=h(x)+f(y)$

$h(x+h(y))=f(x)+g(y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน)
พิจารณาสมการ
$P(x,y); \quad f(x+f(y))=g(x)+h(y)$

$P(0,x); \quad f(f(x))=g(0)+h(x)$

$P(f(x),y); \quad f(f(x)+f(y))=g(f(x))+h(y)$
$P(f(y),x); \quad f(f(x)+f(y))=h(x)+g(f(y))$

ดังนั้น $g(f(x))-h(x)=g(f(y))-h(y)$

$g(f(x))=h(x)+C_1$

ต่อมาพิจารณา
$Q(x,y); \quad g(x+g(y))=h(x)+f(y)$

$Q(x,f(y)); \quad g(x+g(f(y)))=h(x)+f(f(y))$
$g(x+h(y)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$

$Q(y,f(x)); \quad g(y+h(x)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$

$g(x+h(y)+C_1)=g(y+h(x)+C_1)$
$x+h(y)+C_1=y+h(x)+C_1$
$h(x)-x=h(y)-y$

$h(x)=x+C_2$

ในทำนองเดียวกัน $f(x)=x+C_3,g(x)=x+C_4$
แทนลงในสมการจะพบว่า $C_2=C_3=C_4$

ดังนั้นคำตอบคือ $f(x)=g(x)=h(x)=x+k$ ครับ

Comment a bit: ตอนทำรู้สึกว่าทำอย่างไร้จุดหมายมาก แต่ก็รู้สึกว่าเป็นข้อที่ยากข้อนึงเลยครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 21 เมษายน 2016, 18:39
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

FE ข้อ 4 ครับ ช่วยเช็คให้ด้วยนะครับ เผื่อมี bug

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$

สมมติ $f(k)>\dfrac{1}{k}$ จะได้ว่า $P\left(\dfrac{1}{kf(k)-1},k\right)$ ให้ว่า $f(r)=0$ เมื่อ $r=\dfrac{k}{f\left(\dfrac{kf(k)}{kf(k)-1}\right)}$
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง นั่นคือ $f(x)\le\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

เมื่อประยุกต์ใช้อสมการที่เพิ่งได้มากับ $P(x,y)$ จะได้

$\dfrac{f(x+1)}{y}\ge f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)=f(y)-f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)\geq f(y)-\dfrac{xf(y)}{x+1}=\dfrac{f(y)}{x+1}$

นั่นคือ $af(a)\geq bf(b)$ เมื่อ $a>1$

ดังนั้นถ้าเราให้ $r,s>1$ จะได้ $rf(r)\geq sf(s)$ และ $sf(s)\geq rf(r)$ นั่นคือ $rf(r)=sf(s)=c$

เพราะฉะนั้น $f(r)=\dfrac{c}{r}\quad\forall r>1$ และจาก $f(x)\le\dfrac{1}{x}$ จะได้ $c\le 1$

การหาค่าของ $c$ สามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้ $P(1,2)$ และจะได้ว่า $c=1$

เพราะว่า $x+1>1$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}^+$ นั่นคือ $P(x,y)$ กลายเป็น $f(y(x+1))+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$

ตอนนี้เราเหลือแค่กรณี $x<1$ ซึ่งจะพิสูจน์โดยการอุปนัยว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}$

กรณี $n=1$ ได้ทำไปแล้ว

ต่อมาสมมติว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k}$ จะพิสูจน์ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k+1}$

ให้ $a>\dfrac{1}{k+1}$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)>\dfrac{1}{k}$

สมมติ $f(a)\neq\dfrac{1}{a}$ นั่นคือ $f(a)<\dfrac{1}{a}$

และนอกจากนั้น $\dfrac{\dfrac{a}{1-a}+1}{\dfrac{a}{1-a}f(a)}=\dfrac{1}{af(a)}>\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{1}{a}}=1$

นั่นคือ $P\left(\dfrac{a}{1-a},a\right)$ ให้ว่า $\dfrac{1}{a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)}+af(a)=f(a)$

ซึ่งแก้สมการได้ไม่ยากว่า $f(a)=\dfrac{1}{a}$ เกิดข้อขัดแย้ง

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$

นั่นคือ $f(x)=\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

ปล. fe จะออกยากไปถึงไหนครับเนี่ย

22 เมษายน 2016 17:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 22 เมษายน 2016, 00:45
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ขอ ie ข้อ 1 กับ nt ข้อ 5 หน่อยครับ

ปล. ยอมกับ ie fe ปีนี้จริงๆ 555
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 22 เมษายน 2016, 11:06
terasut terasut ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มิถุนายน 2010
ข้อความ: 7
terasut is on a distinguished road
Default

NT ข้อ 5 อยู่ใน Shortlist IMO 2011 ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 22 เมษายน 2016, 16:28
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Default

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 22 เมษายน 2016, 17:41
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ของผมยกกำลัง 2 อสมการที่ต้องการพิสูจน์ แล้วใช้ am-gm ยุบให้เหลือใน form ของ $abc$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 02 พฤษภาคม 2016, 01:03
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

Combinatoric ข้อที่ 2 ตอบเท่าใดกันครับ
อยากเห็นวิธีทำ (•_•)
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:18


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha