ช่วยเฉลยข้อสอบคอมบิหน่อยครับ

[bakured]

ขอวิธีทำแบบแยกกรณีทีละขั้นตอนแบบชัดๆนะครับ
มีห้องอยู่ทั้งหมด5ห้อง มีสามห้องมีคนอยู่ได้สามคนที่เหลืออีกสองห้องได้เพียงคนเดียว
ถ้าเราจะนำคนทั้งหทด5คนเข้าพัก ณ ห้อง5ห้องนี้เราจะสามารถทำได้กี่วิธี(ขอวิธีแยกกรณีธรรมดานะครับสูตรลัดหรือstars and barsไม่เอานะครับ)

กับอีกข้อหนึ่งครับ

ต้องการติดแอร์ทั้งหมด10เครื่องที่ตึกหกชั้น
โดยที่ติดชั้นแรกกับชั้นสองรวมกันได้ไม่เกิน4เครื่อง
และอาจมีบางชั้นที่ไม่มีแอร์ติดเลย
ถามว่าจะมีทั้งหมดกี่วิธี

[poper]

ข้อแรกได้ $\frac{_{11}P_5}{3!3!3!2!2!}$ รึป่าวครับ ไม่แน่ใจ
ถ้ามองว่าที่พักมีทั้งหมด 11 ที่ แล้วมีคน 5 คน
ก็จะจัดคนเข้าพักได้ $_{11}P_5$ วิธี
ทีนี้ ในแต่ละห้องมันสลับกันได้ตามจำนวนคนที่พัก จึงต้องหารออก $3!3!3!2!2!$

[poper]

ข้อ 2)
(1) 2 ชั้นแรก ติด 4 ตัว ได้ $2^4$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 6 ตัวได้ $4^6=2^{12}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{16}$ วิธี
(2) 2 ชั้นแรก ติด 3 ตัว ได้ $2^3$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 7 ตัวได้ $4^7=2^{14}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{17}$ วิธี
(3) 2 ชั้นแรก ติด 2 ตัว ได้ $2^2$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 8 ตัวได้ $4^8=2^{16}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{18}$ วิธี
(4) 2 ชั้นแรก ติด 1 ตัว ได้ $2^1$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 9 ตัวได้ $4^9=2^{18}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{19}$ วิธี
(5) 2 ชั้นแรก ติด 0 ตัว ได้ $2^0$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 10 ตัวได้ $4^{10}=2^{20}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{20}$ วิธี
รวมทั้งหมดได้ $2^{16}+2^{17}+2^{19}+2^{19}+2^{20}$

[กิตติ]

กำลังจะนอนแล้วเห็นโจทย์ข้อแรกนี้แล้วตะหงิดๆใจ
เพราะถ้าแบ่งแบบกรณีทั่วไป น่าจะยาวและยิบย่อย
ผมว่าใช้star&Barน่าจะเวิร์คกว่า เพราะเป็นการแบ่งของแบบที่บางคนไม่ได้ของแจกเลย
สำหรับวิธีของคุณpoper....ไม่รู้ว่าเป็นการแบ่งแบบที่ทุกห้องมีคนอยู่หรือเปล่าครับ และห้องแต่ละห้องก็ถือว่าแตกต่างกัน
แต่ละห้องมีหมายเลขและเบอร์ต่างกันนี่ครับ.อย่างนั้นก็ไม่น่าจะต้องหารด้วย$3!3!3!2!2!$
ใช้Star&Barเถอะครับ....ผมก็ยังไม่คล่อง รอท่านผู้ชำนาญการมาแถลงต่อแล้วกันครับ

[poper]

ผมไม่ได้มองเป็นห้องอ่ะครับ
สมมุติว่าเป็นเตียงละกัน มันก็จะมี 11 เตียงใช่มั้ยครับ เราก็จัดคน 5 คนนอนเตียงที่มี 11 เตียง นั่นก็คือการสับเปลี่ยนเตียง 11 เตียงคราวละ 5 เตียง
ที่นี้พอคิดแบบแบ่งห้อง สมมุติห้องแรกที่นอนได้ 3 คน คือเตียง 1,2 และ 3 สลับกันได้ 3! แต่ถือว่าอยู่ในห้องเดียวกัน จึงนับเป็น 1 วิธี ครับ
แล้วยังไงๆก็ต้องมีเตียงว่างอยู่ดีครับ เพราะคนน้อยกว่า นั่นคืออาจมีห้องว่างได้อ่ะครับ
แต่ก็ไม่แน่ใจเท่าไหร่ครับ

[MiNd169]

stars and bars คืออะไรครับ

[akungs]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 2)
(1) 2 ชั้นแรก ติด 4 ตัว ได้ $2^4$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 6 ตัวได้ $4^6=2^{12}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{16}$ วิธี
(2) 2 ชั้นแรก ติด 3 ตัว ได้ $2^3$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 7 ตัวได้ $4^7=2^{14}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{17}$ วิธี
(3) 2 ชั้นแรก ติด 2 ตัว ได้ $2^2$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 8 ตัวได้ $4^8=2^{16}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{18}$ วิธี
(4) 2 ชั้นแรก ติด 1 ตัว ได้ $2^1$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 9 ตัวได้ $4^9=2^{18}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{19}$ วิธี
(5) 2 ชั้นแรก ติด 0 ตัว ได้ $2^0$ วิธี 4 ชั้นที่เหลือ ติด 10 ตัวได้ $4^{10}=2^{20}$ ดังนั้นได้ทั้งหมด $2^{20}$ วิธี
รวมทั้งหมดได้ $2^{16}+2^{17}+2^{19}+2^{19}+2^{20}$

2ชั้นแรก ติด 4 ตัว ได้แค่ 5 วิธีนะครับ คือ (0,4) , (1,3), (2,2) , (3,1) , (4,0) ครับ เพราะงั้นผมคิดว่าไม่น่าจะใช่นะครับ
ปล. ถ้า้ข้อนี้ใช้ star and bar จะง่ายและเร็วกว่ามากเลยครับ
ปล.2 ถ้าข้อ2 ผมคิดไม่ผิดน่าจะตอบ $\binom{7}{3}x5 + \binom{8}{3}x4 + \binom{9}{3}x3 + \binom{10}{3}x2 + \binom{11}{3}x1$

ส่วนข้อ1นี่ผมอ่านโจทย์แล้วยังงงๆครับ รอผู้รู้มาเฉลยแล้วกันนะครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ akungs

2ชั้นแรก ติด 4 ตัว ได้แค่ 5 วิธีนะครับ คือ (0,4) , (1,3), (2,2) , (3,1) , (4,0) ครับ เพราะงั้นผมคิดว่าไม่น่าจะใช่นะครับ
ปล. ถ้า้ข้อนี้ใช้ star and bar จะง่ายและเร็วกว่ามากเลยครับ
ปล.2 ถ้าข้อ2 ผมคิดไม่ผิดน่าจะตอบ $\binom{7}{3}x5 + \binom{8}{3}x4 + \binom{9}{3}x3 + \binom{10}{3}x2 + \binom{11}{3}x1$

ส่วนข้อ1นี่ผมอ่านโจทย์แล้วยังงงๆครับ รอผู้รู้มาเฉลยแล้วกันนะครับ

จริงๆด้วยครับ
ใช้ stars and bars ง่ายกว่าครับ

[npru.22]

ด้วยความอ่อนด้อยประสบการผมก็ไม่รู้นะครับ แต่ผมว่ามันทำไม่ได้เพราะเคยทำมาข้อ1แล้วมันผิดดูได้เลย http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11901 สุดท้ายยังไงก็ต้องโผล่สตาแอนบาร์ครับ จะเอามาคลี่ให้ดูละกัน ไม่แน่ใจนะผมแค่เด็กม.ปลาย
จะแยกได้ว่า
1. 1ห้อง3คน กับ 1ห้อง2คน หรือ 3+2 =5
จะได้ว่า 5c3 เพื่อเลือกคนในห้อง1ใช่ไหมครับ แล้วก็ อีกห้องนึงก็2คนพอดีไม่ต้องเลือก แล้วก็เลือกห้องแต่ละห้องต่างกันอยู่แล้ว ก็ได้ 3x2(เลือกได้เฉพาะห้องใหญ่) กรณีอื่นผมขอเขียนบวกเลยนะครับเลขแต่ละเลขแทนคนในแต่ละห้อง
2. 3+1+1
เหมือนเดิม 5c3 ก่อน แล้วก็เหลืออีก2คนไม่ต้องสนใจมันผมไม่แน่ใจว่าห้องต่างคนต่างไหมแต่คิดว่าใช่ในการเลือกห้องก็ ใช้3x4x3ไปเลย
อันอื่นๆไม่ทำให้ดูนะครับเด่วผิดแล้วเย็บหน้าไม่ทันไปกันใหญ่
3. 2+2+1
4. 2+1+1+1
5. 1+1+1+1+1

[poper]

ข้อ 2) ถ้าใช้ star and bars แบบนี้จะถูกมั้ยครับ
แบ่งเป็น 2 ตอน คือ 2 ชั้นแรกติดได้ไม่เกิน 4 ดังนั้นใช้ star 4 bar 2
*\*\** จะได้วิธีสับเปลี่ยนคือ $\binom{4+2-1}{2}=\binom{5}{2}$
ตอนที่ 2 คือ 4 ชั้นบน ใช้ star 6 bar 3 สับเปลี่ยนได้ $\binom{6+3-1}{3}=\binom{8}{3}$
นำทั้ง 2 ตอนมาคูณกันได้ $\binom{5}{2}\binom{8}{3}=560$
ไม่รู้ถูกป่าวครับ

[npru.22]

ข้อสองผมขอความกระจ่างหน่อยครับเพราะยังไม่แม่นมันได้งี้ไม่ใช่หรอ

(5 x (9c3) ) + (4x(10c3))+(3x(11c3))+(2x (12c3) ) + (1x(13c3)) ไม่ใช่หรอครับ ยังไงหรอ งง

[poper]

งงๆ เหมือนกันครับ
คุณ akungs ช่วยขยายความหน่อยได้มั้ยครับ

[akungs]

แต่ ข้อ 2 ถ้าทำตามแนวคิดที่ผมบอกไปด้านบนจะตอบ 1056
เริ่มไม่แน่ใจ แหะๆ ไม่ได้จับเรื่องนี้มาเป็นปีแล้วครับ ไงวอนผู้รู้ช่วยเฉลยทีนะครับ จะได้ช่วยผมปัดฝุ่นความรู้หน่อย ^^

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ akungs

แต่ ข้อ 2 ถ้าทำตามแนวคิดที่ผมบอกไปด้านบนจะตอบ 1056
เริ่มไม่แน่ใจ แหะๆ ไม่ได้จับเรื่องนี้มาเป็นปีแล้วครับ ไงวอนผู้รู้ช่วยเฉลยทีนะครับ จะได้ช่วยผมปัดฝุ่นความรู้หน่อย ^^

ได้ 1056 ยังไงอ่ครับ

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

มีห้องอยู่ทั้งหมด 5 ห้อง มีสามห้องมีคนอยู่ได้สามคน ที่เหลืออีกสองห้องได้เพียงคนเดียว ถ้าเราจะนำคนทั้งหมด 5 คนเข้าพัก ณ ห้อง 5 ห้องนี้ เราจะสามารถทำได้กี่วิธี

จำนวนวิธีการจัดคน 5 คน เข้าพักห้องตามเงื่อนไขที่ต้องการ จะหาได้จากสัมประสิทธิ์ของ $\frac{x^5}{5!}$ จากการกระจายพหุนาม
$$(1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})^3(1+\frac{x}{1!})^2$$$$= \sum_{r = 0}^{3}\binom{3}{r}(1+x)^{3-r}(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})^r(1+x)^2$$$$= \sum_{r = 0}^{3}\binom{3}{r}(1+x)^{5-r}(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})^r$$

ถ้า r = 0, $\binom{3}{0}(1+x)^5$ แล้วสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ 1

ถ้า r = 1, $\binom{3}{1}(1+x)^4(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})$ แล้วสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ $\binom{3}{1}[\binom{4}{2}\frac{1}{3!} + \binom{4}{3}\frac{1}{2!}]$

ถ้า r = 2, $\binom{3}{2}(1+x)^3(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})^2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ $\binom{3}{2}[\frac{2}{2!3!} + \binom{3}{1}\frac{1}{2!2!}]$

ถ้า r = 3, $\binom{3}{3}(1+x)^2(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!})^3$ แล้วสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ 0

รวมได้สัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ $\frac{51}{4}$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $\frac{x^5}{5!}$ คือ $\frac{51(5!)}{4} = 1530$