ระบบสมการ

[Wanita]

ให้ x,y และ z เป็นจำนวนจริงใดๆและมีเงื่อนไขดังนี้

x+y+z=-1 , xy+yz+xz = -1

ค่าของ x/x+1 + y/y+1 + z/z+1

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wanita

ให้ $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงใดๆและมีเงื่อนไขดังนี้

$x+y+z=-1,xy+yz+xz = -1$

ค่าของ $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} + \dfrac{z}{z+1}$

$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} + \dfrac{z}{z+1}=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)=3-0$

[Wanita]

ขอวิธีทำละเอียดหน่อยได้มั้ยค่ะ ไม่ค่อยเข้าใจค่ะ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wanita

ขอวิธีทำละเอียดหน่อยได้มั้ยค่ะ ไม่ค่อยเข้าใจค่ะ

ถ้าคิดอะไรไม่ออก เอาแบบถึกๆ ม.ต้น ไม่ต้องสมมุติอะไรก็ได้ครับ


$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} + \dfrac{z}{z+1} = \dfrac{x(y+1)(z+1)+y(x+1)(z+1)+z(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)} $


$ = \dfrac{(xyz+xy+xz+x) + (xyz+xy+yz+y) +(xyz+zx+yz+z)}{xyz+xy+xz+x+yz+y+z+1}$

$ = \dfrac{3xyz +2(-1) +(-1)}{xyz -1-1+1}$

$= \dfrac{3(xyz-1)}{(xyz-1)}$

$ = 3$

[banker]

อ้อ ... มานึกได้ ยังไม่ได้ตอบคำถาม จขกท

$ \because \ \ \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$

$ \because \ \ \dfrac{y}{y+1} = \dfrac{(y+1)-1}{y+1} = 1 - \dfrac{1}{y+1}$

$ \because \ \ \dfrac{z}{z+1} = \dfrac{(z+1)-1}{z+1} = 1 - \dfrac{1}{z+1}$


$ \therefore \ \ \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} +\dfrac{z}{z+1} = 3 - (\dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} ) $

ค่าในวงเล็บตรงท้าย ดูเฉพาะเศษ บวกกันได้ 0 คือ 1+1+1 - 1 - 1 -1 จึงได้

$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} +\dfrac{z}{z+1} = 3 - (\dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} ) = 3 - 0$

[Real Matrik]

อีกแนวนึงที่ผมคิดว่าดูถึกน้อยลงมานิดหน่อยครับ
เปลี่ยนตัวแปรให้ $a=x+1,b=y+1,z=c+1$ จะได้ว่า
$$a+b+c=(x+y+z)+3=2$$
สังเกตว่า $ab=(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$ ทำให้เราทราบว่า
$$ab+bc+ca=(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+3=0$$
และค่าที่โจทย์ต้องการคือ
$$\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c}=3-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3-\frac{ab+bc+ca}{abc}=3$$

ปล. เป็นโรคจิตไม่ชอบให้ส่วนดูยุ่งๆเพราะมันจัดการยาก