Equation Solving Marathon

[Beatmania]

ปลุกหน่อยก็ได้ครับ

กำหนดให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงหาคำตอบของสมการในรุปของ $p,q,r$

$$x^2-yz=p,y^2-zx=q,z^2-xy=r$$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ปลุกหน่อยก็ได้ครับ

กำหนดให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงหาคำตอบของสมการในรุปของ $p,q,r$

$$x^2-yz=p (1)
y^2-zx=q(2)
z^2-xy=r(3)$$

นำสมการ $(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)$

$(x-y)(x+y+z)=p-q$-----(4)

$(y-z)(x+y+z)=q-r$------(5)

$(z-x)(x+y+z)=r-p$------(6)

นำแต่ละสมการมายกกำลังสองแล้วบวกกันให้หมด

$(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp$

$(x+y+z)^2(p+q+r)=p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp$

$x+y+z=\pm \sqrt{\dfrac{p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp}{p+q+r}}$

นำ (6)-(4); $(x+y+z-3x)(x+y+z)=q-2p+r$

นำค่า x+y+z มาแทนหา ค่า x,y,z ได้

[Beatmania]

มาเสนออีกวิธีครับ

$(1)^2-(2)(3)\rightarrow x(x^3+y^3+z^3-3xyz)=p^2-qr$

$(2)^2-(1)(3)\rightarrow y(x^3+y^3+z^3-3xyz)=q^2-rp$

$(3)^2-(1)(2)\rightarrow z(x^3+y^3+z^3-3xyz)=r^2-pq$

ดังนั้นแล้ว $x:y:z=p^2-qr:q^2-rp:r^2-pq$ ดังนั้นจะมี $\lambda$ ที่เป็นจำนวนจริงที่ทำให้

$x=(p^2-qr)\lambda,y=(q^2-rp)\lambda,z=(r^2-pq)\lambda$

แทนค่ากลับในสมการเดิมจะได้ว่า $\lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}}$

ดังนั้นแล้ว $(x,y,z)=(\frac{p^2-qr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},\frac{q^2-pr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},\frac{r^2-pq}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}}),(-\frac{p^2-qr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},-\frac{q^2-rp}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},-\frac{r^2-pq}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}})$

ให้คนอื่นตั้งต่อแล้วกันครับ

[nooonuii]

จงหาจำนวนจริง $x,y,z$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

\begin{align*}
x(1+y+y^2) &= 1+z+z^2 \\
y(1+z+z^2) &= 1+x+x^2 \\
z(1+x+x^2) &= 1+y+y^2
\end{align*}

[FRuNg]

จริงๆแลวเปลี่ยนxเป็นyเปลี่ยนyเป็นzเปลี่ยนzเป็นx จะได้สามสมการเดิม เพราะฉะนั้นแทนx=y=zได้เลยครับ จะได้x=y=z=1

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FRuNg

จริงๆแลวเปลี่ยนxเป็นyเปลี่ยนyเป็นzเปลี่ยนzเป็นx จะได้สามสมการเดิม เพราะฉะนั้นแทนx=y=zได้เลยครับ จะได้x=y=z=1

ทำไมถึงทำได้ล่ะครับ ผมยังตามไม่ทัน

[FRuNg]

คือถ้าลองให้ x=y=z มันก็ยังได้สมการเดิมอ่าครับ ผมก็เลยใช้ข้อมุลนี้ไปแก้สมการต่อครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FRuNg

คือถ้าลองให้ x=y=z มันก็ยังได้สมการเดิมอ่าครับ ผมก็เลยใช้ข้อมุลนี้ไปแก้สมการต่อครับ

มันคือการเดาเหรอครับ

[jackk]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FRuNg

คือถ้าลองให้ x=y=z มันก็ยังได้สมการเดิมอ่าครับ ผมก็เลยใช้ข้อมุลนี้ไปแก้สมการต่อครับ

รู้ได้ไงคับว่ามีคำตอบชุดเดียว

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

จงหาจำนวนจริง $x,y,z$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

\begin{align*}
x(1+y+y^2) &= 1+z+z^2 ...(1)\\
y(1+z+z^2) &= 1+x+x^2 ...(2)\\
z(1+x+x^2) &= 1+y+y^2 ...(3)
\end{align*}

จาก $1+x+x^2 = 0 $ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง คูณกันทั้งหมดจะได้ $xyz = 1$

สมมติมี 2 ตัวน้อยกว่า 0 สมมติคือ $x,y$

จาก(2) จะได้ $1+x+x^2 < 0$ จะได้ $(1+x)^2 < x < 0$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $x,y,z > 0$

บวกกันทั้งสามสมการจะได้ $(x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2) = 0$

คูณ $(y-1)$ ใน (1) ได้ $x(y^3-1) = (y-1)(1+z+z^2)$

ทำในทำนองเดียวกันกับอีกสองสมการแล้วบวกทั้งสามสมการได้

$x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = (x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2)$

$x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = 0$

$xy^3 + yz^3 + zx^3 = x+y+z$

$\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} = x+y+z$

โดยโคชีจะได้

$\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z} = x+y+z$

ซึ่งเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x} = \dfrac{x}{y}$

จะได้ว่า $x=y=z=1$

[กขฃคฅฆง]

จงหาจำนวนเต็ม $x,y$ ทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $$(x+y)^2 = x^3+y^3$$ แต่ไม่เป็นคำตอบของสมการ $$(x+y)^4 = x^5+y^5$$

[Beatmania]

$x^3+y^3=(x+y)^2$

$(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0$

$x^2+y^2+1-xy-x-y=1$

$(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2$

มีสองพจน์ใน $(x-y)^2,(x-1)^2,(y-1)^2$ คือ $1$

$CASE$ $1:$ $(x-y)^2=(x-1)^2=1$ เราได้ว่า $y=1$ $x=0,2$

$CASE$ $2:$ $(x-y)^2=(y-1)^2=1$ เราได้ว่า $x=1$ $y=0,2$

$CASE$ $3:$ $(y-1)^2=(x-1)^2=1$ เราได้ว่า $x=y=0,2$

$(x,y)=(1,0),(1,2),(0,1),(2,1),(0,0),(2,2)$

แทนในสมการ $x^5+y^5=(x+y)^4$ ได้ว่า คู่อันดับที่สอดคล้องคือ $(1,0),(0,1),(0,0)$

$\therefore (x,y)=(1,2),(2,1),(2,2)$ ##

[math ninja]

ช่วยคิดหน่อยครับ จงแก้สมการ
$ 5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}=6x+8\sqrt{1-x^2} $

[math ninja]

ช่วยทีช่วยที

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

ช่วยคิดหน่อยครับ จงแก้สมการ
$ 5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}=6x+8\sqrt{1-x^2} $

โจทย์ตรีโกณ ข้อนี้หลายรอบแล้วครับ

โจทย์สมการติดกรณฑ์