ข้อสอบโอลิมปิก2539ที่คล้ายกับโควต้า มอ.2554

[lek2554]

วงกลม A มีพื้นที่มากกว่าวงกลม B วงกลมทั้งสองนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน Y แต่เหนือแกน X และสัมผัสกับพาราโบลา $x^2 = 4cy \ (c>0)$ และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลานี้ด้วย
อัตราส่วนระหว่างพื้นที่วงกลม A กับพื้นที่วงกลม B เป็นเท่าใด
$(1)\ 32\quad(2)\ 32\quad(3)\ 48\quad(4)\ 64$

ที่ผมจะทำต่อไปนี้ไม่เกียวกับข้อนี้นะครับ
ถ้าผมให้ $c = 1$ จะได้สมการพาราโบลาคือ $x^2 = 4y$ มีจุดโฟกัสที่ (0,1) และสมมติว่าวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ $(0,k)$ ผ่านจุด (0,1) สัมผัสพาราโบลา (โจทย์จะคล้ายข้อสอบโควต้า มอ. ปี2554นี้เลยครับ) ดังนั้นรัศมีวงกลม = $\left|k-1\right|$
จะได้สมการวงกลมคือ $x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2$

วงกลมสัมผัสพาราโบลา ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหาจุดสัมผัสได้
$x^2 = 4y \quad.....(1)$
$x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2 \quad.....(2)$
$4y + (y-k)^2 = (k-1)^2$
$y^2 + (4-2k)y + (2k-1) = 0$
ที่จุดสัมผัส ค่า y มีค่าเดียว ดังนั้น discriminant = 0
$(4-2k)^2 - 4(2k-1) = 0 \rightarrow k = 1 , 5$ แต่ $k\not= 1 $ เพราะรัศมีต้องไม่เท่ากับ 0 $ \therefore k = 5$
ที่ผมสงสัยก็คือ จากโปรแกรม sketchpad ผมสามารถวาดวงกลมได้ 2 วง ที่ $k = \dfrac{1}{2} $กับ $k = 5$
เป็นไปตามที่ข้อสอบโอลิมปิคกำหนดให้ แต่ทำไมเวลาคำนวณจึงได้ $k = 5$ ค่าเดียว
ผมพลาดตรงไหนครับ

[Amankris]

พลาดตรงที่เข้าใจผิดว่า

ถ้า y มีค่าเดียว แล้ว Discriminant ต้องเป็นศูนย์

[lek2554]

แล้วจะหา k ยังไงดีครับ

[Amankris]

ต้องเข้าใจก่อนว่า ทำไม Discriminant ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์

[lek2554]

ยังนึกไม่ออกอยู่ดีครับ เพราะในตอนแรกที่เรายังไม่รู้ว่ามีวงกลมสัมผัสได้ 2 วง เราก็สมมุติสมการวงกลมในรูปทั่วไปแล้วว่า จุดศูนย์กลาง $(0,k)$ จะเป็นจุดใดก็ได้ แล้วที่จุดสัมผัสมี 2 จุด ค่า $y$ เท่ากัน แสดงว่าค่า $y$ มีค่าเดียว
ดังนั้น discriminant ต้องเท่ากับ 0 คำตอบมันก็ควรจะฟ้องออกมาเองว่าได้ค่า $k$ 2 ค่า
ผมเข้าใจตรงไหนผิดไม่รู้ครับ

[Amankris]

มันมีเงื่อนไขมากกว่านั้นครับ คือ $y\geq0$

แม้เราจะทราบว่ามีค่า $y$ ค่าเดียว แต่ก็ยังสรุปไม่ได้ว่าสัมผัสกันจริงๆหรือไม่

เช่นวงกลม $x^2+y^2=1$ ก็แก้สมการได้ค่า $y$ ค่าเดียวเช่นกัน แต่ไม่ได้สัมผัสพาราโบลานี้

[lek2554]

ยังหาไปไม่เจอเลยครับ

[nooonuii]

เวลาแก้สมการกำลังสองแล้วจะใช้สมบัติของ discriminant ตัวแปรต้องไม่มีเงื่อนไขครับถึงจะใช้ได้

อย่างกรณีนี้เรามีเงื่อนไข $y\geq 0$ แปะมาด้วย จึงใช้การวิเคราะห์ discriminant อย่างเดียวไม่ได้

ถ้าหากแก้สมการตรงๆจะได้ $y=k-2\pm\sqrt{(k-1)(k-5)}$

ถามว่าสองคำตอบที่ได้มีโอกาสที่จะได้ค่า $y\geq 0$ หรือเปล่า

มันก็ขึ้นอยู่กับค่า $k$ แล้วล่ะ ลองวิเคราะห์ต่อดูครับ

[lek2554]

$\quad\quad$ผมกำลังคิดว่า ถ้าเราไปเจอสมการอื่นๆ ที่เราไม่รู้ลักษณะกราฟของมัน และเราก็ไม่รู้ด้วยว่า ตัวแปร $x, y$ มีเงื่อนไข (ทั้ง ๆ ที่มันมีเงื่อนไขในตัวสมการของมันเองซึ่งเราไม่รู้) เราจะใช้การแก้สมการหาจุดสัมผัสได้หรือไม่ เพราะโจทย์ลักษณะนี้ พบเห็นมากมาย ทั้ง ม.ต้น และ ม.ปลาย และโดยทั่วไปก็ใช้การอ้างเหตุผลว่า ที่จุดสัมผัส discriminant = 0 (แบบเรีบน สสวท ก็อ้างแบบนี้) หรือว่าทำกันผิด ๆ มาตลอด ตัวอย่างเช้นโจทย์ข้อนี้
$\quad\quad$ซึ่งที่ถูกแล้วควรใช้ calculus มาแก้ปัญหา โดยอ้างว่า ที่จุดสัมผัส ความชันเส้นสัมผัสของทั้ง 2 สมการ ต้องเท่ากัน
$x^2 = 4y\quad.....(1)$
$y' = \dfrac{x}{2} $
$x^2 + (y-k)^2 = (k-1)^2\quad.....(2)$
$2x + 2(y-k)y' = 0\rightarrow x+(y-k)y' = 0$
$x + (y-k)\dfrac{x}{2} = 0$
$x\left(1+\dfrac{y-k}{2}\right) = 0$
$x = 0$ หรือ $y = k-2$
กรณีที่ 1 ถ้า $x = 0$ จะได้ $y = 0$ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(0,0)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k = \dfrac{1}{2}$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่หนึ่ง
กรณีที่ 2 ถ้า $y=k-2$ แทนใน $(1)$ จะได้ $x=\pm 2\sqrt{k-2} $ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(-2\sqrt{k-2},k-2) , (2\sqrt{k-2},k-2)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k=1,5$ แต่ $k\not= 1$ ดังนั้น $k=5$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่สอง

หมายเหตุ ช่วยวิจารณ์ความคิดผมที่พูดไว้ตอนแรก ๆ หน่อยครับว่า ถูก หรือผิด หรือทำได้ ทำไม่ได้ อย่างไร

[Amankris]

พูดตรงๆเลยครับ ไม่มีทางทราบได้แน่นอนว่า

จุดสัมผัสที่หาจาก Discriminant นั้นเป็นจุดสัมผัสจริงๆหรือไม่


แต่ผมมองว่ามันจะเป็นโจทย์สำหรับนักศึกษามากกว่านักเรียนน่ะครับ

ในระดับม.ปลายก็ไม่ได้เน้นตรงนี้กัน

[Wanita]

อยากได้คำอธิบายเพิ่มของข้อนี้ค่ะ เพราะอ่านจากข้างบนแล้วรู้สึกว่ายังไม่เข้าใจสุดๆเลย��