ข้อสอบคณิต มอ. ที่ว่ายาก (บางส่วน)

[กิตติ]

เพราะถ้ามีรากเกิน 1ค่าแล้วคำตอบของอสมการจะไม่ใช่$x>-1$ อย่างเดียว อาจพ่วงค่าอื่นมาด้วย หรือคำตอบไม่ใช่ช่วงที่ต้องการเลย
ผมเข้าใจถูกไหมครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อ 6 ตอนที่ 2 ทำอย่างไรครับ

[กิตติ]

ตอนที่ 2 ข้อ 1
$a,b\quad \epsilon \quad I^+$
$a+1=4A$
$b+2=6B$
$\frac{A}{B} =\frac{3}{2} $
$a+b=(4A-1)+(6B-2)$
$=(6B-1)+(6B-2)$
$=12B-3$
$a+b+3=12B$....ดังนั้น$a+b$ หารด้วย $12$ เหลือเศษเท่ากับ $9$

[กิตติ]

ตอนที่ 2 ข้อ10
เรารู้ว่าเวลากระจายพจน์จาก$(a+b)^n$ ได้ทั้งหมด $n+1$ พจน์
เมื่อนำสัมประสิทธิ์มาเรียงกันเป็นแถวละ $6$ จำนวน โจทย์ถามว่าในแถวที่12มีผลรวมเท่ากับเท่าไหร่ ต้องหาก่อนว่ามีสัมประสิทธิ์ของการกระจายด้วยเลขยกกำลังอะไรบ้าง
แถวที่12 เริ่มจากตัวเลขลำดับที่ 67-72
$1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $.....จากการกระจายถึงการยกกำลัง$n-1$
$n=11$....ผลรวมเท่ากับ $66$....จากการกระจายถึงการยกกำลัง$10$
$n=12$ ....ผลรวมเท่ากับ $78$....จากการกระจายถึงการยกกำลัง$11$
เรามาดูแค่$(1+1)^{11}$...เลือกแต่ 6 พจน์แรก จะได้ว่าเท่ากับ
$\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2} +\binom{11}{3} +\binom{11}{4}+\binom{11}{5} \quad = \quad 1+11+55+165+330+462$
$=1024$

ขอตอบว่าเท่ากับ$1024$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เพราะถ้ามีรากเกิน 1ค่าแล้วคำตอบของอสมการจะไม่ใช่$x>-1$ อย่างเดียว อาจพ่วงค่าอื่นมาด้วย หรือคำตอบไม่ใช่ช่วงที่ต้องการเลย
ผมเข้าใจถูกไหมครับ

อ่าว เพิ่งมาเห็น

ถูกแล้วนะครับ ทำต่อให้จบเลย

[กิตติ]

ดังนั้น$ax^2+ax+1=0$ จะมีรากเพียงค่าเดียวเมื่อ$a^2-4a=0$
$a=0,4$
เลือกค่ามากคือ$a=4$
อย่างนี้แน่เลย

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ดังนั้น$ax^2+ax+1=0$ จะมีรากเพียงค่าเดียวเมื่อ$a^2-4a=0$
$a=0,4$
เลือกค่ามากคือ$a=4$
อย่างนี้แน่เลย

เพิ่มเติมให้นะครับ

จริงๆคือ $ax^2+ax+1$ มีรากได้ไม่เกิน 1 ราก

ดังนั้น $a^2-4a\leqslant 0$ คือ $0\leqslant a\leqslant 4$ ครับ

[yellow]

14) n(S) = 4^4 = 256 เมทริกซ์

กรณี a = b = c = d

มี 4 เมทริกซ์

กรณี ad = bc

C 4,2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 24 เมทริกซ์

รวม 4 + 24 = 28 เมทริกซ์


P(E) = 28/256 = 7/64 ตอบข้อ 4

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

ข้อ 6 ตอนที่ 2 ทำอย่างไรครับ

ผมใช้วิธีหาช่วงของอสมการครับ

โดย

กรณีที่เป็น +/+ จะหา x ไม่ได้

กรณีที่เป็น -/- ได้ x มากสุด คือ 5.5

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

10.หา$arc\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$\tan \theta _1=\frac{b}{a} $ และ $\tan \theta _2=\frac{d}{c} $

$tan( \theta _1+ \theta _2)=\frac{\tan \theta _1+\tan \theta _2}{1-\tan \theta _1\tan \theta _2} $

$=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac} } $

$=\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$arc\frac{ad+bc}{ac-bd}= \theta _1+ \theta _2$

ไม่รู้ว่าในตัวเลือกเอา $\pi$ มาหลอกหรือเปล่า เพราะไม่ว่าจุดทั้งสองจะอยู่ในควอรันต์ไหน เครื่องหมายของ $tan$ ก็จะเปลี่ยนไปตามค่าของ$\frac{ad+bc}{ac-bd}$

ขอแย้งท่านอากิตตินิดนึงนะครับ$ tan(\pi - \theta_2) = \dfrac{d}{c} $ไม่ใช่หรือครับ

[กิตติ]

ปกติในการวัดมุมที่เราใช้อ้างอิงกับวงกลมหนึ่งหน่วย เราวัดจากแกน$x$ด้านบวก และจุดบนวงกลมตามที่โจทย์กำหนดให้นั้นเป็นตัวแปรซึ่งเราไม่รู้ว่าค่าบวกหรือลบ ก็เขียนแทนเท่านั้น
จุด$Q(c,d)$
$tan \theta = \frac{y}{x} =\frac{d}{c} $
หรือว่าผมเข้าใจผิดไปเอง

[tongkub]

คือต้องวัดจากแกน x ด้านบวกใช่แล้วครับ แต่ถ้าเป็น มุมที่ทำให้ $\frac{d}{c} $ ต้องเป็นมุม ที่วัดจากด้านลบไม่ใช่หรือครับ

ตามที่ผมคิดก็ตามรูปครับ

EDIT อันนี้ผิดนะครับ ดูที่ถูกต้องได้จากคุณ lek ครับ

[กิตติ]

เข้าใจแล้วครับ เห็นรูปแล้วชัดเจนครับ
ถ้าอย่างนั้น ผมคิดผิดเอง แล้วเป็นอย่างที่น้องว่าครับ

10.หา$arc\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$\tan \theta _1=\frac{b}{a} $ และ $\tan(\pi- \theta _2)=\frac{d}{c} $

$tan( \theta _1+ \pi-\theta _2)=\frac{\tan \theta _1+\tan (\pi-\theta _2)}{1-\tan \theta _1\tan( \pi-\theta _2)} $

$=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac} } $

$=\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$arc\frac{ad+bc}{ac-bd}= \theta _1- \theta _2+\pi$

[lek2554]

ข้อ 10

$P(a,b) = P(cos\theta _1,sin\theta _1) , Q(c,d) = Q(cos\theta_2,sin\theta_2)$

$arctan\left(\dfrac{ad+bc}{ac-bd} \right) = arctan\left(\dfrac{cos\theta_1sin\theta_2+sin\theta_1cos\theta_2}{cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2} \right) =arctan\left(\dfrac{sin(\theta_1+\theta_2)}{cos(\theta_1+\theta_2)} \right) = arctan(tan(\theta_1+\theta_2))$

เนื่องจาก $arctan(tan\theta ) = \theta$ ก็ต่อเมื่อ $-\frac{\pi}{2} <\theta<\frac{\pi}{2}$

และโจทย์ข้อนี้คนออกข้อสอบคงตั้งใจให้ $\theta _1,\theta_2$ เป็นมุมที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และ 2 ตามลำดับ ดังนั้น $\frac{\pi}{2} <\theta_1+\theta_2<\frac{3\pi}{2}$ จึงยังยุบ $arctan(tan(\theta_1+\theta_2))$ ไม่ได้

แต่เนื่องจาก $tan\theta = tan(\theta -\pi )$

ดังนั้น $arctan(tan(\theta_1+\theta_2)) = arctan(tan(\theta_1+\theta_2-\pi )) = \theta_1+\theta_2-\pi $ (ยุบได้แล้วเพราะว่า $-\frac{\pi}{2} <\theta_1+\theta_2-\pi <\frac{\pi}{2}$)

[กิตติ]

ข้อ10.นี่เล่นวางกับดักตรงนิยามของ$arctan$เลย ถ้าคิดแบบง่ายๆอย่างผมก็เสร็จ
ขอบคุณมากครับคุณเล็กที่ช่วยชี้จุดให้และเฉลยให้ด้วย