|
|
#2
22 พฤษภาคม 2010, 15:48
|
||||
|
||||
ผมลองใช้เชิงซ้อนดูได้ $\frac{1}{2}$ ป่าวครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 
|
|
#3
23 พฤษภาคม 2010, 13:50
|
||||
|
||||
|
ให้ $w = cos\frac{2\pi }{7} + isin\frac{2\pi }{7} $
และ $z_k = w^k = cos\frac{2\pi k }{7} + isin\frac{2\pi k }{7} เมื่อ k=0,1,...,6$ จะได้ว่า $z = z_k เป็นรากของสมการ z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ ให้ $x = z + \frac{1}{z} จะได้ว่า x^3 + x^2 - 2x -1 = 0$ ดังนั้น $x = x_k = z_k + \frac{1}{z_k} เป็นรากของสมการ x^3 + x^2 - 2x -1 = 0$ สำหรับ $k = 1,2,3,4,5,6 จะได้ x_k = z_k + \frac{1}{z_k} = 2Re(z_k) = 2cos\frac{2\pi k}{7}$ จะได้ว่า $x_1 = 2cos\frac{2\pi }{7} $ $x_2 = 2cos\frac{4\pi }{7} $ $x_3 = 2cos\frac{6\pi }{7} = 2cos\frac{8\pi }{7}$ $x_4 = 2cos\frac{8\pi }{7}$ $x_5 = 2cos\frac{10\pi }{7} = 2cos\frac{4\pi }{7}$ $x_6 = 2cos\frac{12\pi }{7} = 2cos\frac{2\pi }{7}$ นั่นคือ $x^3 + x^2 - 2x -1 = 0 มีราก 3 ค่า คือ 2cos\frac{2\pi }{7} ,2cos\frac{4\pi }{7} ,$ $2cos\frac{8\pi }{7}$ จะได้ว่า $2cos\frac{2\pi }{7} + 2cos\frac{4\pi }{7} + 2cos\frac{8\pi }{7} = -1$ $cos\frac{2\pi }{7} + cos\frac{4\pi }{7} + cos\frac{8\pi }{7} = -\frac{1}{2} $ จะได้ว่า $cos\frac{\pi }{7} - cos\frac{2\pi }{7} + cos\frac{3\pi }{7}$ $= -cos\frac{8\pi }{7} - cos\frac{2\pi }{7} - cos\frac{4\pi }{7} = \frac{1}{2}$ 
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด  เลย
|
|
#4
23 พฤษภาคม 2010, 16:51
|
||||
|
||||
|
วิธีผมบ้างนะ
ให้ $z=cos\frac{\pi }{7}+isin\frac{\pi }{7}$ จะได้ว่า $cos\frac{\pi }{7}-cos\frac{2\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}= Re(z-z^2+z^3)$ $Re(z-z^2+z^3)=Re(z(1-z+z^2))=Re(\frac{z(1+z^3)}{(1+z)}$ $=Re(\frac{z^{\frac{1}{2} }(1+z^3)}{z^{\frac{1}{2}} +z^{-\frac{1}{2}} } )$ $=Re(\frac{z^{\frac{1}{2}}(2cos\frac{3\pi }{14})(z^\frac{3}{2}) }{2cos\frac{\pi }{14} }) $ $=Re(\frac{z^2cos\frac{3\pi }{14} }{cos\frac{\pi }{14} }) $ $=\frac{cos\frac{4\pi }{14}cos\frac{3\pi }{14} }{cos\frac{\pi }{14} }$ $=\frac{1}{2}(\frac{cos\frac{7\pi }{14}+cos\frac{\pi }{14} }{cos\frac{\pi }{14} }$ $=\frac{1}{2}$ ปล. คุณ Suwiwat B คุ้นๆวิธีนี้ไหม 55+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...
|
|
#6
23 พฤษภาคม 2010, 18:04
|
||||
|
||||
|
จำ $e^{i\theta }$ ไม่ได้หรอ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...
|
  |
|
|
