FFTMO9

[จูกัดเหลียง]

เป็นกระทู้ที่ผมอยากจะรวบรวมพวกโจทย์(สอวน.)ต่างๆ ไว้นะครับ
ถ้าท่านใดมีโจทย์เจ๋งๆ เเล้วอยากให้เป็นวิทยาทานก็เชิญนะครับ

จงหาค่า $x$ ที่ $49x\equiv 13 \pmod {67}$
$\therefore x\equiv 3 \pmod{67}$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

จงหาค่า $x$ ที่ $49x\equiv 13 \pmod {67}$
$\therefore x\equiv 3 \pmod{67}$

เอาจริงด้วย

พี่จูกัดเหลียงตั้งต่อเลยครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

จงหาค่า $x$ ที่ $49x\equiv 13 \pmod {67}$
$\therefore x\equiv 3 \pmod{67}$

อยากรู้วิธีทำหน่อยอะครับ ยังไม่เคยเข้าค่ายสองเลย

[BLACK-Dragon]

น่าจะคุ้นๆ

2. $x,y,z \in \mathbf{R} ^{+}$ ซึ่ง
$x^2+xy+y^2=y$
$y^2+yz+z^2=16$
$z^2+zx+x^2=25$
จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

3. เมื่อ $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbf{R^{+}}$

จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

$49x \equiv 13 \pmod {67}$

อยากรู้วิธีทำหน่อยอะครับ ยังไม่เคยเข้าค่ายสองเลย

solution

เนื่องจาก $49x \equiv -18x \pmod {67}$

และ $13 \equiv -54 \pmod {67}$

ดังนั้น $-18x \equiv -54 \pmod {67}$

และเนื่องจาก ห.ร.ม. $(-18, 67) = 1$

ดังนั้น $x \equiv 3 \pmod {67}$

(ทบ. ถ้า $ac \equiv bc \pmod m$ โดยที่ $(c, m) = 1$ แล้ว $a \equiv b \pmod m$ )

[Real Matrik]

ข้อ 1 ครับ
$$49x \equiv 13 \pmod {67}$$
$$67x-49x=18x \equiv 0-13 \pmod {67}$$
$$72x\equiv -52 \pmod {67}$$
$$72x-67x\equiv 5x \equiv -52 \pmod {67}$$
$$5x \equiv -52+67\equiv 15 \pmod {67}$$
$$x\equiv3\pmod {67}$$

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

น่าจะคุ้นๆ

2. $x,y,z \in \mathbf{R} ^{+}$ ซึ่ง
$x^2+xy+y^2=y$
$y^2+yz+z^2=16$
$z^2+zx+x^2=25$
จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

3. เมื่อ $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbf{R}^{+}$

จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}$

3.เดาว่า 4/3 ป ะครับ = = ข้อ2 นี่เท่ากับ y จริงหรอไชยา?

[จูกัดเหลียง]

#7 ใครอ่ะครับ (ปอม???)

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#7 ใครอ่ะครับ (ปอม???)

ป่าวครับๆ เพื่อนปอมกะเอ อะ ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ulqiorra Sillfer

3.เดาว่า 4/3 ป ะครับ = = ข้อ2 นี่เท่ากับ y จริงหรอไชยา?

บอกคำตอบไว้ก่อนนะครับ ข้อนนี้ $\sqrt{5}-1$ ส่วนข้อที่ถามเท่ากับ y จริงๆครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

2. $x,y,z \in \mathbf{R} ^{+}$ ซึ่ง
$x^2+xy+y^2=y$-----(1)
$y^2+yz+z^2=16$----(2)
$z^2+zx+x^2=25$-----(3)
จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

$(3)-(2); x^2 +xz -y^2 -yz =9$
$(x+y)(x-y)+z(x-y) =9$
$ (x-y)(x+y+z) =9$
จาก $x,y,z \in \mathbf{R} ^{+}$
ดังนั้น$ x>y>0 \rightarrow x^2 >y $ มันได้ว่า$ (1)$ ไม่จริงอะครับ ถ้าผิดก็ขออภัยนะครับ
ลืมไปครับผิดง่ายๆเลย

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

น่าจะคุ้นๆ

2. $x,y,z \in \mathbf{R} ^{+}$ ซึ่ง
$x^2+xy+y^2=y$
$y^2+yz+z^2=16$
$z^2+zx+x^2=25$
จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

3. เมื่อ $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbf{R^{+}}$

จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}$

โจทย์คล้ายของพี passer-by กับของ TUMSO เลย

ข้อสองยังคิดไม่ออก แต่คาดว่าคงใช้ copy&dilation เข้ามาช่วย (หรือเปล่า )

ข้อสามต้องสร้างให้พอดีกับที่ต้องการ โดยสร้างระบบอสมการ
$$x_1^2+tx_2^2 \ge 2\sqrt{t}x_1x_2$$
$$(1-t)x_2^2+(1-t)x_3^2 \ge 2(1-t)x_2x_3$$
$$tx_3^2+x_4^2 \ge 2\sqrt{t}x_3x_4$$
เมื่อ $t \in (0,1)$ แล้วลองพิจารณาว่าควรทำอย่างไรต่อ???

(สุดท้ายก็จะได้คำตอบ $\sqrt{5}-1$ ตามที่คุณ BLACK-Dragon ได้เฉลยไว้ครับ)

hint

ก็ให้ $\sqrt{t}=1-t$ ซะก็จบ ที่เหลือแค่แก้สมการออกมาเท่านั้นเอง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

3. เมื่อ $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbf{R^{+}}$

จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}$

ใช้วิธี undetermined coefficients ครับ

สมมติค่าต่ำสุดคือ $k$

จะต้องพิสูจน์ว่า

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\geq k(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4)$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2- k(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4)\geq 0$

สมมติว่า

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2- k(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4)=(x_1-l_1x_2)^2+(l_2x_2-l_3x_3)^2+(l_4x_3-x_4)^2$

กระจาย เทียบสัมประสิทธิ์ แล้วแก้สมการหาค่า $k,l_1,l_2,l_3,l_4$ ออกมาครับ

[PP_nine]

เห็นว่าเป็นกระทู้เตรียม TMO ขอใส่เต็มเลยละกัน (ใครเพิ่งจบค่าย 1 ก็อย่าเพิ่งท้อล่ะครับ ^^)

นิยาม

สำหรับจำนวนเต็ม $a$ เรียกจำนวนเต็ม $a^{-1}$ ว่าเป็น inverse ของ $a$ modulo $n$ ก็ต่อเมื่อ $a \cdot a^{-1} \equiv 1 (mod \, \, n)$

4. สำหรับจำนวนเต็ม $a$ และจำนวนนับ $n \ge 2$ พิสูจน์ว่า $a$ มี inverse modulo $n$ ก็ต่อเมื่อ $(a,n)=1$ เท่านั้น


5. พิสูจน์ว่า ถ้าจำนวนเต็ม $a_i$ สำหรับ $i=1,2,...,p-1$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ เป็นจำนวนที่ต่างกันใน modulo $p$ ซึ่ง $(a_i,p)=1$ แล้ว
$$\left\{\, a_1, a_2, ..., a_{p-1} \right\} = \left\{\, a_1^{-1}, a_2^{-1}, ..., a_{p-1}^{-1}\right\}$$ ใน modulo $p$


6. (6th TMO shortlist) ให้ $p \ge 5$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(a,b)=1$ และ
$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} = \frac{a}{b}$$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $p|a$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

เห็นว่าเป็นกระทู้เตรียม TMO ขอใส่เต็มเลยละกัน (ใครเพิ่งจบค่าย 1 ก็อย่าเพิ่งท้อล่ะครับ ^^)
4. สำหรับจำนวนเต็ม $a$ และจำนวนนับ $n \ge 2$ พิสูจน์ว่า $a$ มี inverse modulo $n$ ก็ต่อเมื่อ $(a,n)=1$ เท่านั้น

ลองมั่วๆไปก่อนนะครับ

ขาไป ให้ $a\in\mathbb{N}$ เเละ $n\ge 2\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $a$ มีอินเวิร์ส
นั่นคือ มี $b\in\mathbb{I}$ ที่ $ab\equiv 1 \pmod n\therefore nx=ab-1 \exists x\in\mathbb{I}$
จัดรูป จะได้ว่า $ab+n(-x)=1\therefore (a,n)=1$

ขากลับ ให้ $(a,n)=1\therefore ax+ny=1 \rightarrow n|{ab-1}\rightarrow ab\equiv 1 \pmod n$ จึงมี $b\in\mathbb{I}$ ที่เป็นอินเวอร์สของเอ ในมอดุโล $n$

ปล.ขอบคุณข้อสอบนะครับ ( เเล้วก็เช็คความมั่วของผมหน่อยครับ ) เเล้วก็ ข้อสองที่เป็นวงเล็บปีกกาคือไรอ่ะครับ