Warm Up for POSN Camp#2

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เคยเฉลยไว้ให้นานแล้วที่นี่

http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=10

ปล.proofยังไงอ่ะครับ?

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ไม่แน่ใจนะครับ

$2^{62} \cdot 3^{38} = (2^a \cdot 3^b)\times (2^{62-a} \cdot 3^{38-b})$

ฉะนั้นต้องมี 1 วงเล็บที่มีค่าน้อยกว่า n ดังนั้นมีจำนวนนั้นทั้งหมด $\dfrac{63 \cdot 39-1}{2}=1228$

จำนวนที่น้อยกว่าที่หาร จำนวนที่หาร n ลงตัวและน้อยกว่า n มี $32 \cdot 20 -1 =639$

มีจำนวนนั้นอยู่ $1228-639=589$

(ตอนแรกมองโจทย์แว็บผมก็คิดแบบคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o แหละครับ)

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ABCเป็นสามเหลี่ยมมีAB=15 AC=18 BC=24 ลากเส้นจากจุดCลงมาตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมAที่D ให้Xเป็นจุดบนBCที่BX=XC
จงหาDX

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ABCเป็นสามเหลี่ยมมีAB=15 AC=18 BC=24 ลากเส้นจากจุดCลงมาตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมAที่D ให้Xเป็นจุดบนBCที่BX=XC
จงหาDX

ยังไม่ได้ครับ
ให้ AD ตัด BC ที่ O
ได้แค่ BO=120/11 OX=12/11 XC=12 ครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ABCเป็นสามเหลี่ยมมีAB=15 AC=18 BC=24 ลากเส้นจากจุดCลงมาตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมAที่D ให้Xเป็นจุดบนBCที่BX=XC
จงหาDX

Hint :: ลาก CD ตัด AB ที่ E แล้วจะได้ ถ้าแบ่งครึ่งมุมภายในนะครับ

ตอบ 1.5 (ภายใน) 16.5 (ภายนอก)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap

ปล.proofยังไงอ่ะครับ?

อยู่ในกระทู้นี้ครับ

โจทย์สนุกๆ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนจริง , p,q เป็นจำนวนจริงบวก และ $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} =1$
จงแสดงว่า $\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q} b^q \geqslant ab$

ปล.ผมไม่ทราบวิธีพิสูจน์นะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนจริง , p,q เป็นจำนวนจริงบวก และ $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} =1$
จงแสดงว่า $\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q} b^q \geqslant ab$

ปล.ผมไม่ทราบวิธีพิสูจน์นะครับ

อสมการของยัง ครับ ใช้ weighted AM-GM ทีเดียวก็ออก

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

อ่อครับ ผมยังไม่มีโอกาสได้ศึกษาอสมการของยังเลย -_-

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

$\dfrac{qa^p}{pq}+\dfrac{pb^p}{pq} \geq \sqrt[p+q]{(ab)^{pq}}$

จะได้ว่า

$\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q} \ge ab$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

พอดีเห็นในหนังสือ เลยเอามาลองให้ทำกันดู ไม่คิดว่าแค่ใช้ ถ่วงน้ำหนัก ครั้งเดียว

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อสองต้องย้ำว่าอยากให้ทำกันครับ โจทย์เจ๋งมากคาราวะคนคิดเลยครับ

1. จงหาจำนวนนับ $2<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ เป็นจำนวนเต็ม

2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด

$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$

$r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C

จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$

[Rosalynn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ข้อสองต้องย้ำว่าอยากให้ทำกันครับ โจทย์เจ๋งมากคาราวะคนคิดเลยครับ

1. จงหาจำนวนนับ $2<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ เป็นจำนวนเต็ม

2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด

$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$

$r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C

จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$

ขอบคุณค่ะ สำหรับคำชม

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

1. จงหาจำนวนนับ $2<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ เป็นจำนวนเต็ม

ให้ $x=a-1, y=b-1, z=c-1$ จะได้ $2 \le x<y<z$
และ $xyz \ | \ (xy+yz+zx+x+y+z)$

$xyz \le xy+yz+zx+x+y+z \le x(z-1)+yz+z(y-1)+x+y+z = xz+2yz+z<4yz$
$x \le 3$

ถ้า $x=2$
$2yz \ | \ (yz+3y+3z+2)$
$2yz \le yz+3y+3z+2$
$yz \le 3y+3z+2 \le 6z-1 < 6z$
$y \le 5$
$y$ ที่เป็นไปได้มี $3,4,5$
แทนค่าดูแล้วได้คำตอบคือ $(x,y,z)=(2,4,14)$

ถ้า $x=3$
$3yz \ | \ (yz+4y+4z+3)$
$3yz \le yz+4y+4z+3$
$2yz \le 4y+4z+3 \le 8z-1 < 8z$
$y \le 3$
ซึ่งขัดแย้งกับ $x<y$

ดังนั้นคำตอบคือ $(3,5,15)$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

แทนค่าผิดหรือเปล่าครับเนี่ยยย

$(a,b,c)= (2,...,...),(3,...,...)$