ข้อสอบ PRE-TEST P6

[คusักคณิm]

ยากจังเลย 120 นาที 80 ข้อ เนี่ย ฝนยังไม่ทันเลย

1.จงหาเศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ด้วย 10
2.ให้$2^m=3,3^a=4,4^i=5,5^t=6,6^i=7และ7^e=8$
ค่าของ$maitre$เป็นเท่าไร
3.$123456789101112...8889\div 90$เศษเท่าไร

[Furry]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ
ข้อ1.ไปดูหลักหน่วยที่เกิดจากการยกกำลังแล้วนำมาบวกกัน(หารูปแบบของมันจะพบว่ามันซ้ำกัน)
ถ้าบวกและคูณไม่ผิดตอบ7ครับ
ข้อ2.ใช้ความรุ้เรื่องเลขยกกำลังและสมการก็จะตอบ3ครับ
ข้อ3.สังเกตว่าถ้าเรียงกันจนถึง90ก็จะหารลงตัวดังนั้นเศษข้อนี้คือ9ครับ
รบกวนท่านอื่นตรวจสอบให้ด้วยครับ

[Furry]

เพิ่มเติมรายละเอียดข้อ3.หน่อยครับกลัวน้องๆบางคนจะเข้าใจผิด
1234...90หารด้วย90ลงตัวไม่ใช่เพราะลงท้ายด้วย90แต่เป็นเพราะ
1234...90มีผลรวมของเลขโดดเท่ากับ945ซึ่งหารด้วย9ลงตัวแล้วยังลงท้ายด้วย0
จึงสรุปได้ว่าหารด้วย90ลงตัวครับ..สำหรับ1234...89เมื่อหารด้วย90ก็จะต้องเหลือเศษ9
เพราะเมื่อต่อด้วย90จะเป็น990ซึ่งหารด้วย90ลงตัวตามที่กล่าวแล้วข้างต้นครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

2.ให้ $2^m=3, \ \ 3^a=4, \ \ 4^i=5, \ \ 5^t=6, \ \ 6^{\color{red}{r}}=7และ 7^e=8 $
ค่าของ $maitre$ เป็นเท่าไร

$2^m=3$


$(2^m)^{aitre}=3^{aitre}$

$2^{maitre}=(3^a)^{itre}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(4)^{itre}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(4^i)^{tre}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(5)^{tre}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(5^t)^{re}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(6)^{re}$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(6^r)^e$

$ \ \ \ \ \ \ \ =(7)^e$

$ \ \ \ \ \ \ \ = 8 $

$ \ \ \ \ \ \ \ = 2^3 $

$ \ maitre = 3 $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

3.$123456789101112...8889\div 90$เศษเท่าไร

เอาแบบประถมนะครับ

ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8889 = 765 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว
ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8880 = 756 ซึ่งก็หารด้วย 9 ลงตัว

แสดงว่า 123456789101112 ........ 8880 หารด้วย 9 ลงตัว

$\dfrac{123456789101112 ........ 88 \color{red}{80} +9}{9} = (abcd.....z0 +1) = (abcd......z1) $ <---- ผลลัพท์ลงตัวมีหลักหน่วยเป็น 1

ดังนั้น $\dfrac{123456789101112 ........ 8889}{9 \times 10} = \dfrac{abcd......z1 }{10} = \dfrac{abcd......z0}{10} + \dfrac{1}{10}$ <--- เศษ 1


ดังนั้น $123456789101112...8889 \div 90$ จะเหลือเศษ เป็น 1

[banker]

มาดูอีกที

ถ้า $123456789101112...8889 \div 90$ เหลือเศษ เป็น 1 จริง

ก็แปลว่า $(123456789101112...8889-1) \div 90$ = $123456789101112...8888 \div 90$ จะเหลือเศษ เป็น 0 ??


ชักงงแฮะ

ผิดตรงไหนหรือเปล่าหว่า ?

[banker]

เข้าใจแล้วครับ ต้องตอบเหลือเศษ 9x1 = 9

เดี๋ยวว่างแล้วจะมาอธิบาย

[banker]

ดูตัวอย่างนี้ก่อนครับ

$\dfrac{3888}{9} = 432$

$\dfrac{3888}{90} = 43.2 \color{red}{\not= 43} \ \ \color{red}{เศษ 2}$

$\dfrac{3888}{90} \not= 43 + \dfrac{2}{10}$

แต่หมายถึง $\dfrac{3888}{90} = 43 + \dfrac{2 \times 9}{10 \times 9}$


ดังนั้นข้อข้างต้น ผิดตรงนี้ครับ


ดังนั้น $\dfrac{123456789101112 ........ 8889}{9 \times 10} = \dfrac{abcd......z1 }{10} = \dfrac{abcd......z0}{10} + \dfrac{1}{10}$ <--- เศษ 1


ต้องเป็นแบบนี้ครับ

$\dfrac{123456789101112 ........ 8880+9}{9 \times 10} = $ \(\overbrace {abcd......z }^{ผลหาร}\) + \(\overbrace { \dfrac{ 9}{9\times 10}} ^{เศษ} \) <--- เศษ 9

[Onasdi]

จากวิธีคุณ banker สามารถมองได้อีกแบบครับ
เราเห็นว่า 9 หาร 123456789101112 ........ 8880 ลงตัว
ซึ่ง 10 ก็หารมันลงตัวเช่นกัน
ดังนั้น 123456789101112 ........ 8880 หารด้วย 90 ลงตัวครับ
นั่นก็แปลว่า 90 หาร 123456789101112 ........ 8889 เหลือเศษ 9 ครับ

[jspan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เอาแบบประถมนะครับ

ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8889 = 765 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว
ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8880 = 756 ซึ่งก็หารด้วย 9 ลงตัว

ผลรวมเลขโดดนี่คือ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) อ่ะหรอคะ

คิดไงอ่า

[jspan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

1.จงหาเศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ด้วย 10

แล้วข้อนี้คิดไงเนี่ยได้7อ้ะ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jspan

ผลรวมเลขโดดนี่คือ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) อ่ะหรอคะ

คิดไงอ่า

123456789101112 ........ 8889 มีเศษจากการหารด้วย 9 เช่นเดียวกับ
1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) มีเศษจากการหารด้วย 9 เช่นเดียวกับ
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+...+88+89 ซึ่งเท่ากับ 89x90/2 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว

หรือจะหาค่าของ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) ตรงๆก็ได้ครับ
ก็ต้องนับว่าเลข 1-89 มีเลขโดดเป็น 1 กี่ตัว 2 กี่ตัว
เช่น 1 เกิดในหลักหน่วย 9 ครับ เกิดในหลักสิบ 10 ครั้ง รวม 19 ครั้ง ประมาณนี้ครับ

[jspan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

123456789101112 ........ 8889 มีเศษจากการหารด้วย 9 เช่นเดียวกับ
1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) มีเศษจากการหารด้วย 9 เช่นเดียวกับ
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+...+88+89 ซึ่งเท่ากับ 89x90/2 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว

หรือจะหาค่าของ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) ตรงๆก็ได้ครับ
ก็ต้องนับว่าเลข 1-89 มีเลขโดดเป็น 1 กี่ตัว 2 กี่ตัว
เช่น 1 เกิดในหลักหน่วย 9 ครับ เกิดในหลักสิบ 10 ครั้ง รวม 19 ครั้ง ประมาณนี้ครับ

งั้น 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) =765 ใช่มั้ยคะ


แล้วข้อนี้ทำไงอ่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

1.จงหาเศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ด้วย 10

[Onasdi]

ใช่แล้วครับ ได้ 765 จริงๆแล้วไม่ต้องหามาเป็นตัวเลขก็ได้ครับ แค่เช็คว่า 9 หารเหลือเศษเท่าไหร่ก็พอ
เรารู้ว่า 1-8 ปรากฎเท่าๆกัน และ 9 ปรากฎ 9 ครั้ง ได้ = (1+2+3+...+8)*n+9*9 ซึ่ง 9 หารลงตัว [จับคู่ 1+8,...]

ข้อนี้ผมคงถึกเอาครับ คือ
พวกที่ลงท้ายด้วย 1 (1,11,21,...) จะมีหน่วยเป็น 1 ไม่ว่าจะยกกำลังอะไร
พวกที่ลงท้ายด้วย 2 จะมีหลักหน่วยเป็น 2,4,8,6 ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง [เอาเลขชี้กำลังมา mod 4] จะได้ 4 6 4 6 ...
พวกที่ลงท้ายด้วย 3 จะมีหลักหน่วยเป็น 3,9,7,1 ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง [เอาเลขชี้กำลังมา mod 4] จะได้ 7 3 7 3 ...
ประมาณนี้

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

1.จงหาเศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ด้วย 10

ข้อนี้วิธีทำแบบประถมหรือมัธยมค่อนข้างยาววววว
ก็เลยยังไม่ได้แสดงวิธีทำ

หลักการก็คือหาหลักหน่วยของแต่ละพจน์มารวมกัน ได้หลักหน่วยเป็นอะไร ก็ตอบตัวนั้น

มีบางตัวที่รักเดียวใจเดียว ยกกำลังเท่าไรก็ยังให้ผลเท่าเดิม
หลักหน่วย 1 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 1
หลักหน่วย 5 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 5
หลักหน่วย 6 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 6
หลักหน่วย 10 (0) ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 0

ส่วนหลักหน่วยเลข 9 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคี่จะมีหลักหน่วยเป็น 9 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคู่ หลักหน่วยเป็น 1
ดังนั้น $9^9 + 19^{19} + 29^{29} + 1999^{1999}$ มีจำนวนเป็นคู่ 1+9 = 10 หลักหน่วยรวมกันแล้วก็ลงท้ายด้วย 0
เหลือตัวสุดท้าย $2009^{2009}$ เลขชี้กำลังเป็นคี่ จึงลงท้ายด้วย 9

5 ตัวข้างต้น รวมหลักหน่วยได้ 1 + 5 + 6 + 0 +9 ลงท้ายด้วย 1 ........(*)

ที่เหลือคือ 2

2 ยกกำลังแล้ว $2^2 \ \ 12^{12} \ \ 22^{22}$ จะลงท้าย วนไปมาระหว่าง 4 กับ 6 ซึ่งรวมกันเท่ากับ 10 (หลักสิบเลขคู่ลงท้าย 4 หลักสิบเลขคี่ ลงท้าย 6)
ตั้งแต่ 2 ถึง 1992 มีจำนวนเป็นคู่ เมื่อเอาหลักหน่วยมารวมกัน 4+6 = 10 จะลงท้ายด้วย 0
เหลือตัวสุดท้าย $2002^{2002}$ หลักสิบเลขคู่ ดังนั้นหลักหน่วยลงท้ายด้วย 4

เลข 3
หลักหน่วยเลข 3 ก็เหมือนหลักหน่วยเลข 2 คือ หลักหน่วย 3 ยกกำลังแล้ว หลักหน่วยที่ได้จะวนไปวนมา ระหว่าง 3 กับ 7 ซึ่งก็รวมกันเท่ากับ 10 เช่นเคย เลขชี้กำลังหลักสิบเป็นคี่ ลงท้ายด้วย 3 หลักสิบเป็นคู่ ลงท้ายด้วย 7
$2003^{2003}$ ลงท้ายด้วย 7

เลข 4
หลักหน่วย 4 ยกกำลังตัวเอง ก็จะลงท้ายด้วย 6 เสมอ
4 ถึง 2004 มี 201 จำนวน เมื่อรวมกันก็ลงท้ายด้วย 6

เลข 7
แบบเดียวกัน วนไปวนมาระหว่าง 3 กับ 7 ซึ่งรวมกัน = 10 หนึ่งร้อยคู่ ก็ลงท้ายด้วย 0
ตัวสุดท้าย $2007^{2007} $ หลักหน่วยลงท้ายด้วย 3

เลข 8
หลักหน่วยก็วนไปวนมาระหว่าง 4 กับ 6 เหมือน 2
สุดท้าย $2008^{2008}$ ลงท้ายด้วย 6

บทสรุป
จาก(*) 1
เลขลงท้าย 2 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 4
เลขลงท้าย 3 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 7
เลขลงท้าย 4 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 6
เลขลงท้าย 7 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 3
เลขลงท้าย 8 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 6

1 + 4 + 7 + 6 + 3 + 6 =27

ดังนั้น หลักหน่วยของ $1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ คือ 7

เศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ ด้วย 10 คือ 7


ข้อนี้ถ้าใช้มดช่วย น่าจะสั้นกว่านี้

หมายเหตุ (มด $= mod = \ \ \equiv $)