(ข้อสอบ IJSO 2555) วันนี้ใครไปสอบ IJSO บ้างคะ

[poper]

$a=cos^271^{\circ}-cos71^{\circ}=cos71^{\circ}(cos71^{\circ}-1)<0$
$\therefore \sqrt{a^2}=-a$
$b=sin17^{\circ}-\sqrt{sin17^{\circ}}=\sqrt{sin17^{\circ}}(sin17^{\circ}-1)<0$
$\therefore \sqrt{b^2}=-b$
$\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{a^2}}{2a}+\frac{b}{\sqrt{b^2}}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}-1=1$

[poper]

$4sin^2A+4cosA-3=4(1-cos^2A)+4cosA-3$
$=-4cos^2A+4cosA+1$
$-(2cosA-1)^2+2$
$\therefore max=2$

[banker]

$1000 = \frac{1}{3} \times \pi \times a^2 \times 20$

$a^ 2 = \frac{3000}{20 \pi}$

$\frac{r}{a} = \frac{22}{10} = \frac{11}{10}$

$ r = \frac{11a}{10}$

$ r^2 = \frac{121a^2}{100}$

$ \frac{1}{3} \pi \times r^2 \times 22 = \frac{1}{3} \pi \times \frac{121a^2}{100} \times 22 $

$ \frac{1}{3} \pi \times r^2 \times 22 = \frac{1}{3} \pi \times \frac{121(\frac{3000}{20 \pi})}{100} \times 22 = 1331 $

ต้องเติมน้ำอีก 1331 - 1000 = 331 ลูกบาศก์เซนติเมตร

[poper]

$0.2\dot51\dot2-\frac{1}{7}=\frac{251}{999}-\frac{1}{7}=\frac{758}{999\times7}$
$=\frac{1}{7}\times\frac{758}{999}=\frac{1}{7}\times0.\dot75\dot8$
$=0.108394108394...$
$ 2555=6(425)+5$
$\therefore $ ทศนิยมตำแหน่งที่ $2555$ คือ $9$

[กิตติ]

จาก $(\sec^2A-\tan^2A)^2=1$
$1=\sec^2A\tan^2A$
$\tan^4A+\tan^2A-1=0$
$\tan^2A=\frac{\sqrt{5}-1 }{2} $
$\cot^2A=\frac{\sqrt{5}+1 }{2}$

จาก $(\csc^2A-\cot^2A)^2+2 \csc^2A \cot^2A=\csc^4A+\cot^4A$
$\csc^4A+\cot^4A=1+2 \csc^2A \cot^2A$
$=1+2(1+\cot^2A)\cot^2A$
$=1+2\cot^2A+2\cot^4A$
$=1+(\sqrt{5}+1)+(3+\sqrt{5})$
$=5+2\sqrt{5}$

[กิตติ]

จัดรูป $\tan A=\tan A\cos^2B+\sin B \cos B$
$\tan A=\cot B$
เนื่องจาก $A,B$ เป็มมุมในสามเหลี่ยม ดังนั้นจะได้ว่า $A+B=90^\circ $
ได้ต่อมาว่า $\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$
โจทย์ถาม
$\frac{3-2\cos^2B}{\cos^2A}+ \frac{\cos^3B}{\sin A}+ \frac{\cos^3A}{\sin B}- \frac{\sin^2A}{\sin^2B}$
$=\frac{1+2\sin^2B}{\sin^2B}+\sin^2A+\sin^2B-\frac{1-\cos^2A}{\sin^2B}$
$=\frac{1}{\sin^2B}+2+\sin^2A+\cos^2A+1-\frac{1}{\sin^2B}$
$=4$

[poper]

$y=x^4-4x^3+8x^2-8x+7=x(x-2)(x^2-2x+4)+7$
เนื่องจาก $x^2-2x+4>0$ เสมอทุกค่า $x$
ดังนั้น $y$ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ $x(x-2)$ มีค่าต่ำสุด
$x^2-2x=(x-1)^2-1$ ดังนั้น $y$ ต่ำสุดเมื่อ $x=1$
$y=1(-1)(3)+7=4$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จัดรูป $\tan A=\tan A\cos^2B+\sin B \cos B$
$\tan A=\cot B$
เนื่องจาก $A,B$ เป็มมุมในสามเหลี่ยม ดังนั้นจะได้ว่า $A+B=90^\circ $
ได้ต่อมาว่า $\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$
โจทย์ถาม
$\frac{3-2\cos^2B}{\cos^2A}+ \frac{\cos^3B}{\sin A}+ \frac{\cos^3A}{\sin B}- \frac{\sin^2A}{\sin^2B}$
$=\frac{1+2\sin^2B}{\sin^2B}+\sin^2A+\sin^2B-\frac{1-\cos^2A}{\sin^2B}$
$=\frac{1}{\sin^2B}+2+\sin^2A+\cos^2A+1-\frac{1}{\sin^2B}$
$=4$

ตอนแรกผมก็จะคิดแบบคุณกิตติแล้วครับ
แต่เกิดสงสัยขึ้นมาว่า $A+B=90^{\circ}$ จริงหรือไม่
เพราะถ้าใช่ $ABC$ จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่โจทย์ไม่ได้บอกว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากอ่ะครับ

[กิตติ]

ขอลองใช้วิธีของซือแป๋หยินหยาง
$C=90^\circ ,A=45^\circ ,B=45^\circ$
ก็ยังได้ว่าสมการที่โจทย์กำหนดเป็นจริง สมการตั้งต้น
ลองเอาค่าไปแทนสิ่งที่โจทย์ถาม ก็ยังได้คำตอบเป็น $4$
$C=90^\circ ,A=60^\circ ,B=30^\circ$
ก็ยังได้ว่าสมการที่โจทย์กำหนดเป็นจริง สมการตั้งต้น
ลองเอาค่าไปแทนสิ่งที่โจทย์ถาม ก็ยังได้คำตอบเป็น $4$

ผมจำได้ว่า $\sin A= \cos B$ โดยที่มุม $A,B$ เป็นมุมในQ1
จะสรุปว่า $\sin A=\sin(90^\circ - B)$
$A=90^\circ - B$

ผมว่าโจทย์ก็ไม่ได้ห้ามสามเหลี่ยมมุมฉากเหมือนกันนี่ครับ

[poper]

อ้อ...เข้าใจแล้วครับ
มันมาจาก $tanA=cotB$ นี่เอง
เมื่อกี๊มองไม่เห็นครับ
ขอบคุณคุณ กิตติครับ

[banker]

พิสูจน์แบบนี้ได้ไหมครับ



$tan A^\circ = (cos^2B)(tanA^\circ +tanB^\circ )$

$\frac{a}{b} = \frac{a^2}{c^2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

$c^2 = a^2+b^2$

ABC เป็นสามเหลียมมุมฉาก

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

พิสูจน์แบบนี้ได้ไหมครับ

Attachment 8063

$tan A^\circ = (cos^2B)(tanA^\circ +tanB^\circ )$

$\frac{a}{b} = \frac{a^2}{c^2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

$c^2 = a^2+b^2$

ABC เป็นสามเหลียมมุมฉาก

ขอบคุณครับคุณลุง
เห็นภาพชัดเจน

[banker]

โจทย์ไม่ได้กำหนดเป็นกรวยตัน จึงไม่คิดพื้นที่ผิวที่รอยตัด




$ \pi (\sqrt{r^2+16})^2 (\frac{x^\circ }{360}) = 2 \pi (\sqrt{a^2+h^2})^2 (\frac{x^\circ }{360} )$

$r^2+16 = 2(a^2+h^2)$

แต่ $ \ \frac{a}{h} = \frac{r}{4 } \ \to \ a^2 = \frac{h^2r^2}{16}$

$r^2+16 = 2( \frac{h^2r^2}{16}+h^2)$

$h^2 = 8 \ \ \ \to h = 2\sqrt{2} $

[banker]

$\frac{QO}{OS} = \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}+\frac{1}{4}} = \frac{5}{7}$

[poper]

เหลือเรขา คุณลุงเหมาไปเลยครับ