โจทย์ FE ครับ

[Rossix]

ข้อนี้ทำยังไงครับผม

$จงหา f: \Re \rightarrow \Re ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ$
$(x-y)f(x+y) - (x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2)$

[BLACK-Dragon]

จัดรูปได้

$\dfrac{f(x+y)}{x+y}-\dfrac{f(x-y)}{x-y}=4xy$

ให้ $g(x)= \dfrac{f(x)}{x} $

$g(x+y)-g(x-y)=4xy$

แทน $x=y$ ได้

$g(x)= x^2+g(0)$

ต่อเลยครับ ๆ ๆ ผิดครับ ๆ

[PP_nine]

#2 ทำแบบนั้นไม่ได้ครับ เพราะจากบรรทัดแรกมาบรรทัดสามบ่งว่า $x+y \not= 0$ และ $x-y \not= 0$

จึงแทนลงไปว่า $x=y$ ไม่ได้ครับ

[Thgx0312555]

$g(0)=\dfrac{f(0)}{0}$

[BLACK-Dragon]

#3,#4

จริงด้วยยยย ขอบคุณครับลืมสนิทเลย

[PP_nine]

วิธีข้างต้นเป็นทริคการฝันครับ คือถ้าลองทำไปมาเราจะเดาคำตอบว่าเป็น $f(x)=x^3+cx$

ซึ่งยังไงวิธีทำก็ผิดอยู่แล้ว แต่เราใช้ประโยชน์จากคำตอบที่เดามาต่อยอดครับ ดังนี้


สร้าง $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่ง $g(x)=f(x)-x^3$

จากนั้นจัดรูปสมการ มันจะลงตัวพอดีเลยครับ ได้ว่า

$(x-y)g(x+y)-(x+y)g(x-y)=0$

แทน $x=\dfrac{a-b}{2}$ และ $y=\dfrac{a+b}{2}$ ได้ว่า

$bg(a)=ag(b)$

สำหรับ $a,b \not= 0$ ได้ว่า $\dfrac{g(a)}{a}=\dfrac{g(b)}{b}$

ดังนั้น $h(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ เป็นฟังก์ชันคงตัว สมมติว่าเป็นค่า $k \in \mathbb{R}$

จัดรูปจนหมดได้ว่า $f(x)=x^3+kx$ สำหรับ $x \not= 0$

แต่จากสมการดั้งเดิม ถ้าเราแทน $x=y=1$ ก็จะพบว่า $f(0)=0=(0)^3+k(0)$ ด้วยเช่นกัน

เราจึงสรุปได้ว่า คำตอบคือ $f(x)=x^3+kx$ ทุก $x \in \mathbb{R}$

[BLACK-Dragon]

#6 ขอบคุณมากครับ

[Rossix]

ขอบคุณมากครับ ^^

[oKiNeSIuMo]

$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$
$\frac{f(x+y)}{x+y}-\frac{f(x-y)}{x-y}=4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$
$\frac{f(x+y)}{x+y}-(x+y)^2=\frac{f(x-y)}{x-y}-(x-y)^2$
$\therefore \frac{f(x)}{x}-x^2=c$
$\therefore f(x)=x^3+cx$

[Amankris]

ลองปรับให้กระชับมากขึ้นนะครับ

จงหา $f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$ ทุก $x,y\in\mathbf{R}$

Solution

แทน $(x,y)$ ด้วย $\left(\dfrac{x+1}{2},\dfrac{x-1}{2}\right)$

จะได้ $f(x)-xf(1)=x^3-x$

นั่นคือ $f(x)=x^3+cx$

//comment วิธีนี้จะไม่มีปัญหาเรื่องตัวส่วนเป็นศูนย์ให้เวิ่นเว้อเหมือนวิธีอื่นครับ

[kongp]

ที่เค้าซุกซ่อนกันก็อย่าไปค้นกันนะครับ ยุคสมัยเริ่มเปลี่ยนแล้ว อนาคตก็จะเปลี่ยนไปอีก คิดว่าทางแก้ไขเบื้องต้นอาจจะเป้นการศึกษาเป็นกลุ่มและยึดมั่นในสิ่งที่ดี แม้ด้านมืดจะมีขนาดเท่าด้านสว่าง ก็อย่าหลงไหลไปกับสิ่งเลวร้ายมากนัก โดยปราศจากความรู้ในการเอาตัวรอด

[PP_nine]

#10 ขอคารวะครับ

ลืมนึกถึงเรื่องที่ว่า $x+y, x-y$ สามารถเปลี่ยนเป็น $a,b$ ใดๆได้ โดยรวมถึงตัวเลขธรรมดา