โจทย์ที่ดูเหมือนจะยาก

[Julian]

จงพิสูจน์ว่า

$1^{2551}+2^{2551}+3^{2551}+4^{2551}+5^{2551}หารด้วย 5 ลงตัว$

ไม่ยากจริงๆคับ ผ่อนคลาย

คิดหนักกับ mathcenter contest ล่ะ

มาผ่อนคลายกันดีกว่า

[Julian]

เอาให้มันดูยากๆหน่อยดีกว่า

ห้ามคิดแต่เลขลงท้ายคับ

และโปรดอย่าใช้ความรู้ที่เกินหลักสูตรเกินไปในการพิสูจน์นะครับ

บางทีคนที่เข้ามาอ่านเนี่ย

อาจจะไม่เข้าใจก็ได้นะครับ

ดังนั้นใช้แค่ความรู้มต้นพิสูจน์ก็พอแล้วครับ

[[SIL]]

$=1+(5-3)^{2551}+3^{2551}+(5-1)^{2551}+5^{2551}$
$=1+[5^{2551}-5^{2550}\times3+...+5\times3^{2550}-3^{2551}]+3^{2551}+[5^{2551}-5^{2550}+...+5-1]+5^{2551}$
$=3\times5^{2551}+5[5^{2550}-5^{2549}\times3+...3^{2550}]+5[5^{2550}-5^{2549}+...+1]$
$=5(3\times5^{2550}+k+m)$
จะเห็นว่าหาร 5 ลงตัวโอเค๊

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

$=1+(5-3)^{2551}+3^{2551}+(5-1)^{2551}+5^{2551}$
$=1+[5^{2551}-5^{2550}\times3+...+5\times3^{2550}-3^{2551}]+3^{2551}+[5^{2551}-5^{2550}+...+5-1]+5^{2551}$
$=3\times5^{2551}+5[5^{2550}-5^{2549}\times3+...3^{2550}]+5[5^{2550}-5^{2549}+...+1]$
$=5(3\times5^{2550}+k+m)$
จะเห็นว่าหาร 5 ลงตัวโอเค๊

เออ
พี่คับ
ช่วยละเอียดหน่อยได้ไหมคับ
อยู่ดีฟเคกับเอ็มโผล่มาจากไหนคับ
ช่วยอธิบายให้หน่อยคับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กรza_ba_yo

เออ
พี่คับ
ช่วยละเอียดหน่อยได้ไหมคับ
อยู่ดีฟเคกับเอ็มโผล่มาจากไหนคับ
ช่วยอธิบายให้หน่อยคับ

มันจำนวนเต็มที่บวกลบกันในวงเล็บใหญ่ครับ ซึ่งไม่ต้องไปสนใจ ดูแค่หน้าวงเล็กทุกตัวมี 5 เป็นตัวประกอบหมดอ่ะ มันเลยหารด้วย5ลงตัว

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

มันจำนวนเต็มที่บวกลบกันในวงเล็บใหญ่ครับ ซึ่งไม่ต้องไปสนใจ ดูแค่หน้าวงเล็กทุกตัวมี 5 เป็นตัวประกอบหมดอ่ะ มันเลยหารด้วย5ลงตัว

อืม

ก็คือว่า m กับ k มันหมามยถึงวงเล็บใหญ่หรือคับ

ถ้างั้นก็ไม่ต้องสนมันใช่ไหมคับ

[ExPloSivE]

ไม่ยากหรอกคับ แค่
ตัดไปตัดมาเหลือ 5 ซะงั้น คิคิ

[LightLucifer]

ผมว่าถ้าจะเอาไห้เข้าใจง่ายๆคือ จำนวนที่หาร 5 ลงตัว จะมีตัวเลขในหลักหน่วยเป็น 5 หรือ 0

จากโจทย์ $1^{2551}$ มีหลักหน่วย =1
$2^{2551}$ มีหลักหน่วย =8
$3^{2551}$ มีหลักหน่วย =7
$4^{2551}$ มีหลักหน่วย =4
$5^{2551}$ มีหลักหน่วย =5
หลักหน่วยของทุกจำนวนบวกกันแล้วลงท้ายด้วย 5
$\therefore$ จำนวนนี้จึงหารด้วย 5 ลงตัว
----------------------------------------จบ----------------------------------------------

[Kira Yamato]

ครับแต่รู้สึกคนโพสต์เขาไม่อยากให้ใช้วิธีนั้น

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

ครับแต่รู้สึกคนโพสต์เขาไม่อยากให้ใช้วิธีนั้น

วิธีของผมหน่ะหรอครับ

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SIL

$=1+(5-3)^{2551}+3^{2551}+(5-1)^{2551}+5^{2551}$
$=1+$$[5^{2551}-5^{2550}\times3+...+5\times3^{2550}-3^{2551}]$$+3^{2551}+$$[5^{2551}-5^{2550}+...+5-1]$$+5^{2551}$
$=3\times5^{2551}+5[5^{2550}-5^{2549}\times3+...3^{2550}]+5[5^{2550}-5^{2549}+...+1]$
$=5(3\times5^{2550}+k+m)$
จะเห็นว่าหาร 5 ลงตัวโอเค๊

นิดนึงครับ
คือว่า $(5-3)^{2551}=\binom{2551}{0}5^{2551}-\binom{2551}{1}\times5^{2550}\times3+\binom{2551}{2}\times5^{2549}\times3^2-...+\binom{2551}{2550}\times5\times3^{2550}-\binom{2551}{2551}\times3^{2551} $
นะครับ

[[SIL]]

ประทานโทษครับผมลืมใส่สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ทุกทีเลยครับ

ปล. ถ้าไปหาคำตอบบแบบเติมคำหรือตัวเลือกสนใจแค่สัมประสิทธิ์พจน์รองสุดท้ายและพจน์สุดท้ายโอเคแล้วครับ

[winlose]

ลองดูอีกวิธีนะครับ
จาก $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}\times b+a^{n-3}\times b^2-...+b^{n-1})$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่
$1^{2551}+2^{2551}+3^{2551}+4^{2551}+5^{2551}$
$=(1^{2551}+4^{2551})+(2^{2551}+3^{2551})+5^{2551}$
$=(1+4)(1^{2550}-1^{2549}\times4+1^{2548}\times4^2-...-1\times4^{2549}+4^{2550})+(2+3)(2^{2550}-2^{2549}\times3+2^{2548}\times3^2-...-2\times3^{2549}+3^{2550})+5^{2551}$
$=5(1^{2550}-1^{2549}\times4+1^{2548}\times4^2-...-1\times4^{2549}+4^{2550})+5(2^{2550}-2^{2549}\times3+2^{2548}\times3^2-...-2\times3^{2549}+3^{2550})+5^{2551}$
$=5[(1^{2550}-1^{2549}\times4+1^{2548}\times4^2-...-1\times4^{2549}+4^{2550})+(2^{2550}-2^{2549}\times3+2^{2548}\times3^2-...-2\times3^{2549}+3^{2550})+5^{2550}]$
ดังนั้น $5\left.\,\right| 1^{2551}+2^{2551}+3^{2551}+4^{2551}+5^{2551}$

[mathematiiez]

อือ หือ ขอบคุณทุกวิธีน๊ะค๊ะ น่าใช้ทุกวิธีเลย ขออณุญาติใช้หน่อยนะ ><

[HaPPyBoy]

ผมเลือกวิธีที่เขาห้ามน่าจะดีกว่าแหะ ^^"