โจทย์ระบบจำนวนจริง

[sahaete]

ข้อ 1 ถ้า $x,y$ เป็น จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ $x^2+xy+y^2=0$

$\quad\quad$ จงหาค่าของ $ \displaystyle \left(\,\frac{x}{x+y} \right)^{2001} +\left(\,\frac{y}{x+y} \right)^{2001}$


ข้อ 2 พิจารณาพหุนาม $P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$
$\quad\quad$ และ$\quad\quad\;\quad$ $Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$
$\quad\quad$ กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3\
$ และ $z_4\;$ เป็นรากของสมการ $Q(x)=0$
$\quad\quad$ จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4).$
$$
$$
$\underline{ขอแนวคิดด้วยครับ}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 1 ถ้า $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ $x^2+xy+y^2=0$

$\quad\quad$ จงหาค่าของ $ \displaystyle \left(\,\frac{x}{x+y} \right)^{2001} +\left(\,\frac{y}{x+y} \right)^{2001}$

$x^2+xy+y^2=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2=0$

จะได้ว่า $x=y=0$ เท่านั้น ดังนั้นไม่มีจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 2 พิจารณาพหุนาม $P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$
$\quad\quad$ และ$\quad\quad\;\quad$ $Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$
$\quad\quad$ กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3\
$ และ $z_4\;$ เป็นรากของสมการ $Q(x)=0$
$\quad\quad$ จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4).$
$$
$$

จับ $P(x)$ มาหารยาวด้วย $Q(x)$ จะได้

$P(x)=(x^2+1)Q(x)+x^2-x+1$

แทนค่า $z_1,z_2,z_3,z_4$ ลงไปจะได้

$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)=\sum z_i^2-\sum z_i+4$

ที่เหลือก็ใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนามครับ

[Suwiwat B]

ข้อ 1 นะครับ ขี้เกียจพิมพ์มากเลยทำกรณีเดียว

[Onasdi]

อีกวิธีครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$ จะได้ $x^2=-(x+y)y$ นั่นคือ $\dfrac{x}{x+y}=-\dfrac{y}{x}$
ด้วยความสมมาตร ได้ว่า $\dfrac{y}{x+y}=-\dfrac{x}{y}$
ดังนั้น $\left(\dfrac{x}{x+y} \right)^{2001} +\left(\dfrac{y}{x+y} \right)^{2001}=-\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2001} -\left(\dfrac{x}{y} \right)^{2001}$

จาก $x^2+xy+y^2=0$ จะได้ $\left(\dfrac{x}{y} \right)^2+\left(\dfrac{x}{y} \right)+1=0$ ดังนั้น $\left(\dfrac{x}{y} \right)^3=1$
จึงได้ว่า $-\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2001} -\left(\dfrac{x}{y} \right)^{2001}=-1-1=-2$