ความหมายของ integral 3 ชั้น

[gnopy]

1 คือผมอยากทราบความหมายของการอินทิเกรตสามชั้น เหนือรูปทรงสามมิติใดๆ

เช่น

กำหนดให้รูปทรงสามมิติ $G$ ถูกล้อมรอบด้วยพื้นที่ผิวที่รอบล้อมด้วยระนาบ x+3y+z=6 และระนาบพิกัด
จงใส่ลิมิตในการหาค่า $\int f(x,y,z)dV$ เมื่อลำดับการอินทิเกรตเป็น dzdxdy

ผมเห็น dV คิดว่าน่าจะเป็นการหาปริมาตร แต่ปริมาตรของอะไรนั้นยังไม่แน่ใจ ถ้าข้อนี้ให้ f(x,y,z)=x แล้วปริมาตรที่เราหาจะเป็นปริมาตรของ???

2 นิยามการหาปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดฉาก

คำว่าผลแบ่งกั้นคืออะไรครับ คล้ายๆกับเราแบ่ง (a,b) เป็น n ช่อง(ในปริพันธ์ชั้นเดียวไหมครับ) concept การหายังงงๆอยู่ครับ รู้ว่าเป็นการแบ่งเป็นชิ้นๆเล็กๆ
แล้วก็

ความหมายของตัวนี้ัครับ $\sum_{k= 1}^{n} f(x_k,y_k,z_k)dV$

ชอบคุณครับ เย้ยๆ

ขอบคุณครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

2. นิยามการหาปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดฉาก

คำว่าผลแบ่งกั้นคืออะไรครับ คล้ายๆกับเราแบ่ง (a,b) เป็น n ช่อง(ในปริพันธ์ชั้นเดียวไหมครับ) concept การหายังงงๆอยู่ครับ รู้ว่าเป็นการแบ่งเป็นชิ้นๆเล็กๆ แล้วก็
ความหมายของตัวนี้ัครับ $\sum_{k= 1}^{n} f(x_k,y_k,z_k)dV$

ก่อนจะตอบข้อที่ 1. ต้องไปรู้จักกับ concept ของอินทิกรัลสองชั้น (คลิก) และอินทิกรัลสามชั้น (คลิก) ก่อนนะครับ เพราะเล่นถามมาเป็นชุด ต้องเรียงลำดับความคิดและพื้นฐานของผู้อ่านก่อน

ผลแบ่งกั้นตามความคิดของ Riemann คือผลลัพธ์ที่ได้จากการแบ่งโดเมนออกเป็นส่วนย่อย ๆ ณ ที่นี้จะอธิบายอินทิกรัลสามชั้น เราแบ่งโดเมน G ของฟังก์ชัน f(x,y,z) ออกเป็นส่วนย่อย ๆ โดยให้แบ่งนั้นให้แบ่งขนานกับแกนพิกัดทั้งสาม(ตามลักษณะการแบ่ง) จะได้รูปทรงลูกบาศก์เล็ก ๆ ในโดเมน G มากมาย(สมมติให้มี n ลูกบาศก์) สมมติทรงลูกบาศก์เล็ก ๆ ที่ k ในโดเมน G มีปริมาตรคือ $\Delta v_k$ เราจะได้ผลของการแบ่งกั้น ณ n = k ใด ๆ คือ $\Delta v_k f(x_k,y_k,z_k)$ เมื่อ $(x_k,y_k,z_k)\in บริเวณ \Delta v_k$ ซึ่ง concept ผลการแบ่งกั้นก็คือ ค่าที่ได้จากการคำนวณ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึก $f(x_k,y_k,z_k)$ ในมิติที่ 4 ของฟังก์ชัน f(x,y,z) จะเกิดค่า
$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\Delta v_k f(x_k,y_k,z_k)=\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k $$
ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึก $f(x_k,y_k,z_k)$ ในมิติที่ 4 ของฟังก์ชัน f(x,y,z) เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $)
โดยอาศัยแนวคิดเชิง Riemann จะนิยามอินทิกรัลสามชั้นของฟังก์ชัน f(x,y,z) บนบริเวณ G ดังนี้
$$\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,f(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$
หรือ

อินทิกรัลสามชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึกในมิติที่ 4 ของ $f(x_k,y_k,z_k)$ ซึ่งทางคณิตศาสตร์เรายังไม่ได้นิยามว่าเป็นอะไร ขึ้นอยู่กับการนำไปประยุกต์ใช้ เช่นถ้าฟังก์ชัน f(x,y,z) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่น(หรือ $\rho (x,y,z)$) ของวัตถุ G โดยใช้สมบัติทางฟิสิกส์ $M=\rho (x,y,z) v$ โดยที่ M เป็นมวลของวัตถุ และ v เป็นปริมาตรของวัตถุ เราจะได้ว่า
$$ มวลของ G = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$
ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับ $\rho(x_k,y_k,z_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) หรือมวลเล็ก ๆ ของวัตถุในทุก ๆ จุดของวัตถุมารวมกันมาก ๆ
โดยอาศัยแนวคิดเชิง Riemann จะนิยามอินทิกรัลสามชั้นของฟังก์ชัน $\rho(x,y,z)$ คือมวล(M) ของวัตถุ G ดังนี้
$$M = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,\rho(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$

ทำนองเดียวกัน

อินทิกรัลสองชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของพื้นที่($\Delta A_k$) คูณกับค่าที่ได้(ความสูง) ของ $f(x_k,y_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ซึ่งทางคณิตศาสตร์นิยามว่าเป็นปริมาตร และสามารถนิยามได้เป็นอย่างอื่นอีกมากมาย

อินทิกรัลหนึ่งชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของความกว้าง($\Delta x_k$) คูณกับค่าที่ได้(ความยาว) ของ $f(x_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ซึ่งทางคณิตศาสตร์นิยามว่าเป็นพื้นที่ และสามารถนิยามได้เป็นอย่างอื่นอีกมากมาย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

1. คือผมอยากทราบความหมายของการอินทิเกรตสามชั้น เหนือรูปทรงสามมิติใดๆ

เช่น

กำหนดให้รูปทรงสามมิติ $G$ ถูกล้อมรอบด้วยพื้นที่ผิวที่รอบล้อมด้วยระนาบ x+3y+z=6 และระนาบพิกัด
จงใส่ลิมิตในการหาค่า $\int f(x,y,z)dV$ เมื่อลำดับการอินทิเกรตเป็น dzdxdy

ผมเห็น dV คิดว่าน่าจะเป็นการหาปริมาตร แต่ปริมาตรของอะไรนั้นยังไม่แน่ใจ ถ้าข้อนี้ให้ f(x,y,z)=x แล้วปริมาตรที่เราหาจะเป็นปริมาตรของ???

จากคำตอบในข้อที่ 2. คงจะมองเห็นความหมายของการอินทิเกรตสามชั้น เหนือรูปทรงสามมิติใดๆ
มาดูตัวอย่างที่ถามนะครับ พิจารณารูปประกอบ

รูป A เป็นรูปทรงสามมิติ G ของฟังก์ชัน f(x,y,z) และรูป B เป็นภาพฉาย (projection) ของทรงสามมิติ G บนระนาบ XY โดยมีการวางแถบสี (strip) ตั้งฉากแกน Y (ตามโจทย์ที่ถาม) จะได้ว่า
$\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,f(x,y,z)\,dV$
$=\int\!\!\!\int \int_{0}^{6-x-3y}\,f(x,y,z)\,dz dA$
$=\int_{0}^{2} \int_{0}^{6-3y} \int_{0}^{6-x-3y}\,f(x,y,z)\,dz dx dy$

ซึ่งจะเป็นปริมาตรของรูปทรงสามมิติ G เมื่อ f(x,y,z) = 1 ทุก ๆ จุด (x,y,z) บนบริเวณ G หรือ
$$ปริมาตรของทรงสามมิติ G = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV = \int_{0}^{2} \int_{0}^{6-3y} \int_{0}^{6-x-3y}\,1\,dz dx dy$$

ส่วนคำถามสุดท้าย ถ้า f(x,y,z) = x จะเกิดอะไรขึ้น
โดยสมบัติทางฟิสิกส์ โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ คือ $M_{YZ}=x\rho (x,y,z) v$ และแนวคิดเชิงรีมานน์ เรานิยาม โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ ($M_{YZ}$) คือ
$$M_{YZ} = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}x_k \rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$
เมื่อ $\rho(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของวัตถุ G
ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ $x_k$ คูณกับ $\rho(x_k,y_k,z_k)$ คูณกับ ปริมาตร($\Delta v_k$) เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ดังนั้น
$$M_{YZ} = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV = โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ $$
เพราะฉะนั้น
$ \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV=M_{YZ} $ ซึ่งก็เป็นค่าของโมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ โดยที่ความหนาแน่น $\rho(x,y,z)$ มีค่าเป็น 1 ทุก ๆ จุดบนวัตถุ G

เราสามารถหาจุดศูนย์ถ่วง $\overline{x} $ ของมวลของรูปวัตถุ G ได้ ถ้าฟังก์ชัน $\rho(x,y,z) = c$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่ หรือความหนาแน่น $\rho$ คงที่ จะได้ว่า
$\overline{x} = \frac{M_{YZ}}{M}= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,\rho(x,y,z)\,dV $
$= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x c\,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,c\,dV $
$= c\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV / c\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV $
$= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV $
$= \frac{1}{ปริมาตรของ G} \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV $
เพราะฉะนั้น อาจกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า
$\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV = (ปริมาตรของ G)\overline{x} $ ซึ่งก็คือ ปริมาตรของวัตถุ G คูณกับจุดศูนย์ถ่วงของมวลของวัตถุ G เมื่อความหน่าแน่นของวัตถุ G คงที่ นั่นเอง

[gnopy]

ขอบคุณ คุณชายน้อยมากครับ สำหรับความรู้

ผมคงลืมนึกไปถึงมิติที่สี่
โดยสามัญสำนึก ผมรู้ว่า องค์ประกอบของปริมาตร คือต้องรู้ความกว้าง ยาว และลึก (ในสามมิติ) เลยนึกไม่ออกว่าf(x,y,z) คืออะไร ที่แท้ก็เป็นหน่วยของความยาวนั่นเอง ผมก็เลยไม่รู้ว่าความหมายของสัญลักษณ์นี้คืออะไร

แต่ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ

ขอบคุณมากๆอีกทีครับ