โจทย์ relate rates ครับ

[bakured]

ช่วยแสดงวิธีคิดให้หน่อยนะครับ

1.โยนก้อนหินก้อนหนึ่งลงในน้ำจะทำให้น้ำเป็นระลอกแผ่เป็นวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุดตกรัศมีวงกลมวงนอกเพิ่มขึ้นด้วยความเร็ว50cm/s จงหาว่าขณะที่พื้นที่วงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา2.5pi ตารางเมตร/วินาที เป็นเวลาหลังจากที่ก้อนหินตกถึงผิวน้ำกี่วินาที

2.แก้วเหล้าที่มีขวดเป็นรูปทรงกรวยกลมมีr=4cm h=12cm ถ้าค่อยๆรินเหล้าลงในแก้วจงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับส่วนสูง ในขณะที่เหล้าสูง5cm

3.ถังเก็บน้ำรูปกรวยหงายใบหนึ่งมีr=4ฟุต h=6ฟุตถ้าปล่อยน้ำออกจากถังโดยให้ระดับน้ำลดลงด้วยอัตรา 6นิ้ว/นาที
จงหาว่าน้ำไหลออกจากถังด้วยอัตราเท่าใดในขณะที่ระดับน้ำลึก3ฟุต

4.เวลาเก้าโมงรถBอยู่ทางทิศตะวันออกของรถAเป็นระยะ65kmแต่รถBวิ่งไปทางทิศตะวันตกด้วยความเร้ว10km/hr รถAแล่นไปทางใต้ด้วยความเร็ว15km/hrจงหาว่าเมื่อใดที่รถสองคันจะอยู่ใกล้กันที่สุด

5.หลอดไฟอยู่บนยอดเสาสูง25ฟุตส่องแสงลงมายังพื้นดินชายคนหนึ่งสูง6ฟุตเดินออกจากโคนเสาไฟด้วยความเร็ว5ฟุต/วินาทีอยากทราบว่าเงาของเขาจะยาวขึ้นด้วยอัตราเท่าใด

6.เด็กคนหนึ่งกำลังเล่นว่าวอยู่สูงจากพื้น ถ้าลมพัดพาเอาว่าวไปจากเด็กคนนั้นในแนวราบด้วยอัตรา25ฟุต/วินาที เด็กคนนั้นจะต้องปล่อยให้สายป่านออกมาด้วยความเร็วเท่าใด เมื่อว่าวอยู่ห่างจากเขา500ฟุต

7.บันไดยาว25ฟุตวางพิงกำแพง ปลายล่างของบันไดถูกผลักออกไปจากกำแพงในอัตรา 6ฟุตต่อนาทีส่วนบนของบันไดจะเคลื่อนที่ต่ำลงมาด้วยอัตราเร็วเท่าใด ในขณะที่ปลายล่างอยู่ห่างกำแพง7ฟุต

8.เครื่องบินลำหนึ่งบินอยู่สูงจากพื้นดินในแนวราบ3000เมตรด้วยความเร็ว300km/hrผ่านผู้สังเกตที่พื้นดิน จงหาอัตราเร็วที่เครื่องบินบินเข้าหาผู้สังเกตซึ่งอยู่ห่าง5000เมตร

9.กำหนดด้านสองด้านของสามเหลี่ยมยาว15และ 20cmตามลำดับ ถ้ามุมระหว่างด้านสองด้านที่กำหนด=pi/3 rad
และกำลังเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเร็ว2rad/s จงหาว่าด้านที่สามจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเร็วเท่าใด และ พื้นที่รูปสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเร็วเท่าใด

10.wheel-piston device จะมีล้อรัศมี1ฟุตและหมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยความถี่60รอบต่อนาทีโดยเชื่อมกับแกนที่มีความยาว5(มีกระบอกสูบอยู่ด้านบนผนังแล้วเอาเชือกลงม าเชื่อมที่ล้อหมุนซึ่งเชือกที่ลากมายาว5)ฟุตที่จุดP ซึ่งเมื่อขณะอุปกรณ์เริ่มทำงานจุดPจะอยู่ที่จุด(1,0)อยากทราบว่าความเร็วกระบอกสูบขณะที่อุปกรณ์เริ่มทำงาน มีค่าเท่าไร

[bakured]

http://www.mathcenter.net/forum/show...884#post123884
ตามลิงค์นี้ครับใครคิดข้อไหนออกขอsolutionหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

1.โยนก้อนหินก้อนหนึ่งลงในน้ำจะทำให้น้ำเป็นระลอกแผ่เป็นวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุดตกรัศมีวงกลมวงนอกเพิ่มขึ้นด้วยความเร็ว50cm/s จงหาว่าขณะที่พื้นที่วงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา2.5pi ตารางเมตร/วินาที เป็นเวลาหลังจากที่ก้อนหินตกถึงผิวน้ำกี่วินาที

โจทย์อัตราสัมพัทธ์ต้องวาดรูปครับและพยายามสร้างสมการแสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรแต่ละตัวให้ได้

จากนั้นใช้การหาอนุพันธ์ของสมการอิงตัวแปรเสริมมาช่วยครับ ตัวแปรส่วนใหญ่จะเป็นฟังก์ชันของเวลาอีกที

ทำำข้อแรกให้ดูเป็นตัวอย่างนะครับ

โจทย์กล่าวถึงพื้นที่ของวงกลมกับรัศมีดังนั้นสมการที่เราจะสร้างคือสมการพื้นที่ของวงกลม(ที่ขึ้นกับเวลา)

$A(t)=\pi r(t)^2$

หาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร $t$ จะได้

$A'(t)=2\pi r(t)r'(t)$ (อย่าลืมใช้กฎลูกโซ่)

ตีความเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า

$A'(t)=2.5\pi$ ตารางเมตรต่อวินาที

$r'(t)=0.5$ เมตรต่อวินาที

แทนค่าแล้วแก้สมการได้

$r(t)=\dfrac{A'(t)}{2\pi r'(t)}=2.5$ เมตร

ดังนั้น $t=\dfrac{r(t)}{r'(t)}=5$ วินาที