โจทย์นิดหน่อยครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอปลุกหน่อยนะครับ ช่วยคิดข้ออินทิเกรตข้างบนหน่อยครับ และขอถามอีกข้อครับ
Prove that $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

2. $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$ ใช้กฎของโลปิตาล ก็ออกแล้วครับ

เห็นแล้วต้องรีบออกตอบก่อนเลยครับ
การจะพิสูจน์ว่า \[
\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1
\] นั้นไม่สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้ครับ ต้องใช้วิธีทางเรขาคณิตครับ เพราะมันจะเกิดปัญหาที่คล้ายกับปัญหางูกินหางครับ ( เกิดปัญหาตรงไหนนั้นลองพิจารณาดูครับ )

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

สมาคม2549ครับ
จงหาจำนวนจริงบวก a ค่าน้อยที่สุดที่ทำให้
$$\int_0^{2\pi} |\sin (x+2549a)-\sin (x+2006a)| dx$$
มีค่าสูงสุด
ช่วยอธิบายหน่อยครับ ขอบคุณครับ

ก็...
$\displaystyle\int_0^{2\pi} |\sin (x+2549a)-\sin (x+2006a)| dx$
=$\displaystyle 2\left|\sin{\frac{543a}{2}}\right|\int_0^{2\pi}\left|\cos{\left(x+\frac{4555a}{2}\right)}\right| dx$
พิจารณา $\displaystyle 2\int_0^{2\pi}\left|\cos{\left(x+\frac{4555a}{2}\right)}\right| dx$ เห็นได้ว่า ตรงนี้มีค่าคงที่ เพราะว่าถ้าลองนึกภาพ $\cos{\left(x+\frac{4555a}{2}\right)}$ มีคาบเป็น $2\pi$ แล้วก็ใส่ || อีก ถึงแม้จะเลื่อนออกไปเท่าไร ก็ตัดมาแปะเป็นรูปภูเขา 2 ลูกเหมือนเดิมได้ (พูดแล้วถ้างง ขอโทษด้วยแล้วกันครับ ลองนึกภาพดูว่า $|\cos{x}|$ มันหน้าตาเหมือนภูเขาที่มีคาบ $\pi$ น่ะครับ)
ดังนั้นถ้าจะให้ $\displaystyle 2\left|\sin{\frac{543a}{2}}\right|\int_0^{2\pi}\left|\cos{\left(x+\frac{4555a}{2}\right)}\right| dx$ มีค่าสูงสุด ก็จะได้ว่า $\displaystyle\left|\sin{\frac{543a}{2}}\right|=1$ เห็นได้ว่า $a$ ที่มีค่าน้อยที่สุดก็คือ $\displaystyle a=\frac{\pi}{543}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

เห็นแล้วต้องรีบออกตอบก่อนเลยครับ
การจะพิสูจน์ว่า \[
\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1
\] นั้นไม่สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้ครับ ต้องใช้วิธีทางเรขาคณิตครับ เพราะมันจะเกิดปัญหาที่คล้ายกับปัญหางูกินหางครับ ( เกิดปัญหาตรงไหนนั้นลองพิจารณาดูครับ )

เป็นงูกินหางอย่างไรครับรบกวนช่วยอธิบายให้หน่อย
แนวคิดคือ limit ที่ให้หามันยังในรูปแบบของ Indeterminate Forms ผมก็ใช้กฎของโลปิตาล โดยการดิฟเศษแล้วก็ดิฟส่วน

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{ \frac{dsin\theta }{d\theta}
}{\frac{d\theta}{d\theta} }=\lim_{\theta \to 0}\frac{cos\theta }{1}=1$$

ช่วยดูให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป เพราะไม่ค่อยได้ใช้ครับ

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ ยัง งง นิดๆนะครับอิอิ แต่ไม่เป็นไรครับ ต้องไปอ่านอีกเยอะครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เป็นงูกินหางอย่างไรครับรบกวนช่วยอธิบายให้หน่อย
แนวคิดคือ limit ที่ให้หามันยังในรูปแบบของ Indeterminate Forms ผมก็ใช้กฎของโลปิตาล โดยการดิฟเศษแล้วก็ดิฟส่วน

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{ \frac{dsin\theta }{d\theta}
}{\frac{d\theta}{d\theta} }=\lim_{\theta \to 0}\frac{cos\theta }{1}=1$$

ช่วยดูให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป เพราะไม่ค่อยได้ใช้ครับ

งูกินหางยังไงลองอ่านคอมเม้นท์ของผมในหน้า 3 อันสุดท้ายละกันครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เป็นงูกินหางอย่างไรครับรบกวนช่วยอธิบายให้หน่อย
แนวคิดคือ limit ที่ให้หามันยังในรูปแบบของ Indeterminate Forms ผมก็ใช้กฎของโลปิตาล โดยการดิฟเศษแล้วก็ดิฟส่วน

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{ \frac{dsin\theta }{d\theta}
}{\frac{d\theta}{d\theta} }=\lim_{\theta \to 0}\frac{cos\theta }{1}=1$$

ช่วยดูให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป เพราะไม่ค่อยได้ใช้ครับ

ลองมองอย่างนี้ก็ได้ครับ

จะหาอนุพันธ์ต้องใช้ลิมิต เพราะนิยามของอนุพันธ์มาจากลิมิต

จะใช้ L'Hospital Rule ต้องใช้อนุพันธ์

แต่อนุพันธ์ที่เราจะใช้ใน L'Hospital Rule นั้ัน

ก็คือตัวเดียวกับลิมิตที่เราต้องการหานั่นเอง

งงดีไหม? ผมก็งง

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

งูกินหางยังไงลองอ่านคอมเม้นท์ของผมในหน้า 3 อันสุดท้ายละกันครับ

ผมเคยเห็นตำราหลายเล่มก็พิสูจน์โดยใช้กฎของโลปิตาล และนี่ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งหรือผมเข้าใจอะไรผิดครับ รบกวนอีกที ช่วงนี้ี้สมองไม่ค่อยรับครับ
http://math1.snru.ac.th/UserFiles/Fi...ulus%202/5.pdf
ดู หน้าที่ 214 ตัวอย่างที่ 5.10 รบกวนด้วยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลองมองอย่างนี้ก็ได้ครับ

จะหาอนุพันธ์ต้องใช้ลิมิต เพราะนิยามของอนุพันธ์มาจากลิมิต

จะใช้ L'Hospital Rule ต้องใช้อนุพันธ์

แต่อนุพันธ์ที่เราจะใช้ใน L'Hospital Rule นั้ัน

ก็คือตัวเดียวกับลิมิตที่เราต้องการหานั่นเอง

งงดีไหม? ผมก็งง

ผมก็งงเหมือนกันครับ สรุปว่าใช้ได้มั้ยครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมเคยเห็นตำราหลายเล่มก็พิสูจน์โดยใช้กฎของโลปิตาล และนี่ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งหรือผมเข้าใจอะไรผิดครับ รบกวนอีกที ช่วงนี้ี้สมองไม่ค่อยรับครับ
http://math1.snru.ac.th/UserFiles/Fi...ulus%202/5.pdf
ดู หน้าที่ 214 ตัวอย่างที่ 5.10 รบกวนด้วยครับ

ผมก็งงเหมือนกันครับ สรุปว่าใช้ได้มั้ยครับ

ผมไม่ได้กวนนะครับ แต่ถ้าพูดตรงๆ ตำราเหล่านั้นก็ต้องผิดครับ เพราะว่าวิธีนี้มันเป็นงูกินหางจริงๆ คือใช้ไม่ได้ครับ
คือเอาอย่างนี้ละกัน ให้ประพจน์ A แทน " $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ "
และประพจน์ B แทน " $\displaystyle\frac{d(\sin{x})}{dx}=\cos{x}$ "
เราต้องใช้ประพจน์ A ในการแสดงว่าประพจน์ B เป็นจริง (เหมือนกับว่าประพจน์ A เป็น lemma น่ะครับ)
คราวนี้ เราจะพิสูจน์ประพจน์ A ว่ามันเป็นจริง ถ้าเราใช้ความจริงที่ว่าประพจน์ B ว่าเป็นจริง ในการพิสูจน์ของ A ก็เท่ากับว่า B เป็นจริงอยู่แล้ว... มันก็เลยวนเป็นงูกินหาง
ก็คือว่าเราดันไปสมมติว่าตัวโจทย์(ประพจน์ B)เป็นจริง ในการพิสูจน์ว่าประพจน์ B เป็นจริง ซึ่ง... มัน... ไม่ถูกอ่ะครับ
ภาษาอังกฤษ เขาเรียกว่า circular reasoning ครับ หาได้ใน wikipedia ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

ผมไม่ได้กวนนะครับ แต่ถ้าพูดตรงๆ ตำราเหล่านั้นก็ต้องผิดครับ เพราะว่าวิธีนี้มันเป็นงูกินหางจริงๆ คือใช้ไม่ได้ครับ
คือเอาอย่างนี้ละกัน ให้ประพจน์ A แทน " $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ "
และประพจน์ B แทน " $\displaystyle\frac{d(\sin{x})}{dx}=\cos{x}$ "
เราต้องใช้ประพจน์ A ในการแสดงว่าประพจน์ B เป็นจริง (เหมือนกับว่าประพจน์ A เป็น lemma น่ะครับ)
คราวนี้ เราจะพิสูจน์ประพจน์ A ว่ามันเป็นจริง ถ้าเราใช้ความจริงที่ว่าประพจน์ B ว่าเป็นจริง ในการพิสูจน์ของ A ก็เท่ากับว่า B เป็นจริงอยู่แล้ว... มันก็เลยวนเป็นงูกินหาง
ก็คือว่าเราดันไปสมมติว่าตัวโจทย์(ประพจน์ B)เป็นจริง ในการพิสูจน์ว่าประพจน์ B เป็นจริง ซึ่ง... มัน... ไม่ถูกอ่ะครับ
ภาษาอังกฤษ เขาเรียกว่า circular reasoning ครับ หาได้ใน wikipedia ครับ

ขอบคุณครับ แม้ว่าตอนนี้ยังงงอยู่ แต่ก็เป็นประโยชน์ในการค้นคว้าต่อไปครับ

[owlpenguin]

ก็คือว่าเราจะแสดงว่า B เป็นจริง แต่เราไปสมมติว่า B เป็นจริงตั้งแต่แรก ... แล้วเราจะพิสูจน์ทำไมครับ

พูดในอีกแง่ก็คือเราไม่สามารถสมมติว่าสิ่งที่พิสูจน์เป็นจริงตั้งแต่แรก มัน... non-sense น่ะครับ

[TOP]

ลองอ่านคำอธิบายจากหัวข้อนี้ดูครับ โจทย์ข้อที่สี่

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP

ลองอ่านคำอธิบายจากหัวข้อนี้ดูครับ โจทย์ข้อที่สี่

ขอบคุณครับคิดว่าเข้าใจแล้วครับ เมื่อกี้นี้ลอง search ใน กูเกิ้ล ก็ยังเห็นอีกหลายเว็บที่อ้างโดยใช้กฎของโลปิตาลอยู่เลย แต่ก็มีหลายเว็บเช่นกันที่พิสูจน์โดยเรขาคณิต เช่น
http://www.ies.co.jp/math/java/calc/...X/LimSinX.html
http://www.youtube.com/watch?v=Ve99biD1KtA
อ้างโดยใช้กฎของโลปิตาล เช่น
http://www-math.mit.edu/~djk/18_01/c...example01.html