ช่วยด้วยยย

[kitten]

\int_{0}^{\infty}\,dx \frac{1}{1+y^4}

อินทิเกรตยังไงก็ไม่ออกซะที

ช่วยด้วยนะคะ

พิมโจทย์ไ่ม่เปงอะ

คือโจทย์เป็นอินทิเกรต1ส่วน1+y^4คร่า

ขอบคุณมากมาย

[t.B.]

ผมยังงงๆอยู่ว่าอินทีเกรตเทียบ dx แต่ทำไม เป็นฟังก์ชั่นของ y

แต่ถ้าหมายถึงเทียบ dy จะได้

$1+y^4=1+2y^2+y^4 -2y^2 =(1+y^2)^2-2y^2 = (y^2-\sqrt{2} y +1)(y^2+\sqrt{2} y +1)$

แล้วใช้ Partial Fraction คิดว่าไม่น่ามีปัญหานะครับ

[kitten]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ผมยังงงๆอยู่ว่าอินทีเกรตเทียบ dx แต่ทำไม เป็นฟังก์ชั่นของ y

แต่ถ้าหมายถึงเทียบ dy จะได้

$1+y^4=1+2y^2+y^4 -2y^2 =(1+y^2)^2-2y^2 = (y^2-\sqrt{2} y +1)(y^2+\sqrt{2} y +1)$

แล้วใช้ Partial Fraction คิดว่าไม่น่ามีปัญหานะครับ

ทำPartial Fractionต่อ เยอะมากเลยอะ

แหะๆ

ทำไม่เป็นแน่เลย

[Onasdi]

ลองทำมาดูครับ ทำได้เท่าไหน เดี๋ยวช่วยกันต่อ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kitten

\int_{0}^{\infty}\,dx \frac{1}{1+y^4}

อินทิเกรตยังไงก็ไม่ออกซะที

ช่วยด้วยนะคะ

พิมโจทย์ไ่ม่เปงอะ

คือโจทย์เป็นอินทิเกรต1ส่วน1+y^4คร่า

ขอบคุณมากมาย

Very easy.
ให้ $t=y^4$
จะได้\[
\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + y^4 }}dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {t^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 + t} \right)^{ - 1} dt}
\]
ให้ $t=\frac{x}{1-x}$
จะได้\[
\int\limits_0^\infty {t^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 + t} \right)^{ - 1} dt} = \int\limits_0^1 {x^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 - x} \right)^{ - \frac{1}{4}} dx} = B\left( {\frac{1}{4},\frac{3}{4}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)}} = \Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right)
\]
จาก Legendre duplication formula แทนด้วย $\frac{1}{4}$
จะได้\[
\Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right) = \sqrt 2 \pi
\]
ดังนั้น\[
\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + y^4 }}dy} = \frac{\pi }{{2\sqrt 2 }}
\]

[kitten]

ขอบคุณคร่า

คือถ้าเราจะอินทิเกรต1ส่วน1+y^4แล้วอินทิเกตผ่านช่วงx และ y กำหนดขอบเขตให้ x เป็น0-8 และ y เป็นรากที่3ของx ถึง 2 (dydx) อินทริเกรตจาก yก่อนอะคะ แล้วค่อยอินทิเกรต x ข้อนี้จาทำไงอะคะ ไม่รู้ว่าจาเข้าใจป่าวอะพิมโจทย์ไม่เป็น

ช่วยด้วยนะคะ

ขอบคุณมากๆค่ะ

[nooonuii]

The general formula for this kind of integral is

$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^n}\,dx=\frac{\pi}{n}\csc{\frac{\pi}{n}}}$

where $n\geq 2$ is an integer.

I have no easy proof for this formula.

I use residue theorem.

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

The general formula for this kind of integral is

$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^n}\,dx=\frac{\pi}{n}\csc{\frac{\pi}{n}}}$

where $n\geq 2$ is an integer.

I have no easy proof for this formula.

I use residue theorem.

ผมว่าข้อนี้ไม่ต้องใช้ถึง Residue Theorem ก็ได้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ผมว่าข้อนี้ไม่ต้องใช้ถึง Residue Theorem ก็ได้ครับ

based on what knowledge we have?

Can you show me the solution?

I'm very curious!

[V.Rattanapon]

ผมขอละการพิสูจน์การลู่เข้านะครับ
ให้ $t=x^n$ จะได้\[
\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + x^n }}dx = \frac{1}{n}} \int\limits_0^\infty {\frac{{t^{\frac{1}{n}} }}{{t\left( {t + 1} \right)}}dt}
\]
ให้ $t=\frac{y}{1-y}$ จะได้\[
\int\limits_0^\infty {\frac{{t^{\frac{1}{n}} }}{{t\left( {t + 1} \right)}}dt} = \int\limits_0^1 {y^{\frac{1}{n} - 1} \left( {1 - y} \right)^{ - \frac{1}{n}} } dy = B\left( {\frac{1}{n},1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\Gamma \left( 1 \right)}} = \Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)
\]
จาก Euler's reflection formula จะได้ว่า \[
\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \pi \csc \frac{\pi }{n}
\]
ดังนั้น\[
\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + x^n }}dx = \frac{\pi }{n}} \csc \frac{\pi }{n}
\]