#1
|
|||
|
|||
ช่วยด้วยยย
\int_{0}^{\infty}\,dx \frac{1}{1+y^4}
อินทิเกรตยังไงก็ไม่ออกซะที ช่วยด้วยนะคะ พิมโจทย์ไ่ม่เปงอะ คือโจทย์เป็นอินทิเกรต1ส่วน1+y^4คร่า ขอบคุณมากมาย |
#2
|
||||
|
||||
ผมยังงงๆอยู่ว่าอินทีเกรตเทียบ dx แต่ทำไม เป็นฟังก์ชั่นของ y
แต่ถ้าหมายถึงเทียบ dy จะได้ $1+y^4=1+2y^2+y^4 -2y^2 =(1+y^2)^2-2y^2 = (y^2-\sqrt{2} y +1)(y^2+\sqrt{2} y +1)$ แล้วใช้ Partial Fraction คิดว่าไม่น่ามีปัญหานะครับ
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ทำPartial Fractionต่อ เยอะมากเลยอะ แหะๆ ทำไม่เป็นแน่เลย |
#4
|
||||
|
||||
ลองทำมาดูครับ ทำได้เท่าไหน เดี๋ยวช่วยกันต่อ
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ $t=y^4$ จะได้\[ \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + y^4 }}dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {t^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 + t} \right)^{ - 1} dt} \] ให้ $t=\frac{x}{1-x}$ จะได้\[ \int\limits_0^\infty {t^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 + t} \right)^{ - 1} dt} = \int\limits_0^1 {x^{ - \frac{3}{4}} \left( {1 - x} \right)^{ - \frac{1}{4}} dx} = B\left( {\frac{1}{4},\frac{3}{4}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)}} = \Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right) \] จาก Legendre duplication formula แทนด้วย $\frac{1}{4}$ จะได้\[ \Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{4}} \right) = \sqrt 2 \pi \] ดังนั้น\[ \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + y^4 }}dy} = \frac{\pi }{{2\sqrt 2 }} \] 22 กันยายน 2009 00:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ V.Rattanapon |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณคร่า
คือถ้าเราจะอินทิเกรต1ส่วน1+y^4แล้วอินทิเกตผ่านช่วงx และ y กำหนดขอบเขตให้ x เป็น0-8 และ y เป็นรากที่3ของx ถึง 2 (dydx) อินทริเกรตจาก yก่อนอะคะ แล้วค่อยอินทิเกรต x ข้อนี้จาทำไงอะคะ ไม่รู้ว่าจาเข้าใจป่าวอะพิมโจทย์ไม่เป็น ช่วยด้วยนะคะ ขอบคุณมากๆค่ะ 22 กันยายน 2009 19:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#7
|
|||
|
|||
The general formula for this kind of integral is
$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^n}\,dx=\frac{\pi}{n}\csc{\frac{\pi}{n}}}$ where $n\geq 2$ is an integer. I have no easy proof for this formula. I use residue theorem.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
ผมว่าข้อนี้ไม่ต้องใช้ถึง Residue Theorem ก็ได้ครับ
|
#9
|
|||
|
|||
based on what knowledge we have?
Can you show me the solution? I'm very curious!
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
|||
|
|||
ผมขอละการพิสูจน์การลู่เข้านะครับ
ให้ $t=x^n$ จะได้\[ \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + x^n }}dx = \frac{1}{n}} \int\limits_0^\infty {\frac{{t^{\frac{1}{n}} }}{{t\left( {t + 1} \right)}}dt} \] ให้ $t=\frac{y}{1-y}$ จะได้\[ \int\limits_0^\infty {\frac{{t^{\frac{1}{n}} }}{{t\left( {t + 1} \right)}}dt} = \int\limits_0^1 {y^{\frac{1}{n} - 1} \left( {1 - y} \right)^{ - \frac{1}{n}} } dy = B\left( {\frac{1}{n},1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\Gamma \left( 1 \right)}} = \Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \] จาก Euler's reflection formula จะได้ว่า \[ \Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \pi \csc \frac{\pi }{n} \] ดังนั้น\[ \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1 + x^n }}dx = \frac{\pi }{n}} \csc \frac{\pi }{n} \] |
|
|