Geometry Problems

[BLACK-Dragon]

1.In circle quarilateral $ABCD$, a line perpendicular to $AB$ passing through B meets line $CD$ at $B'$. A line perpendicular to $CD$ passing through $D$ meets line $AB$ at $D'$. Prove that $AC$ is parallel to $B'D'$

2.Let $ABC$ be a triangle such that $BC>CA>AB$. Choose points $D$ on $BC$ and $E$ on ray $BA$ such that $BD=BE=AC$. The circumcircle of $\bigtriangleup BED$ intersects $AC$ ay $P $and the line $BP$ intersects the circumcircle of $\bigtriangleup ABC$ again at $Q$ . Prove that $AQ+QC=BP$

3.In $\bigtriangleup ABC$, suppose $D$ is in $AB$ and $E$ in $AC$ such that $BD=DE=EC$ .If $\hat {A} =60^{\circ}$, prove that $BE$ and $CD$ intersects at the circumcircle of $\bigtriangleup ABC$

4. Points $E$ and $F$ are given on side $BC$ of convex quadrilateral $ABCD$(with $E$ closer than $F$ to $B$). If $B \hat {A} E = C\hat {D} F$ and $E \hat {A} F = F \hat {D} E$ , show that $F \hat{A} C= E\hat {D} B$

5. A chord $PQ$ with midpoint $R$ is drawn in a circle with diameter $AB$.Perpendiculars $PS$ and $QT$ are dropped onto $AB$. Prove that $\bigtriangleup RST $ is isosceles

[TU Gifted Math#10]

1. Solution
เนื่องจาก $AB\perp BB'$ ดังนั้น $\angle ABB'=90^{\circ}\rightarrow\angle DBB'=90^{\circ}$ และในทำนองเดียวกันทำให้ $\angle D'DB'=90^{\circ}$ ทำให้ $\angle DBB'+\angle D'DB'=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} $
ดังนั้น $\Box BB'DD'$ แนบในวงกลม
ทำให้ มุม$\angle D'B'D=\angle D'BD=\angle ABD=\angle ACD$
แสดงว่า $AC\parallel B'D'$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 3 โจทย์แปลกๆนะครับ $BE,CD$ มันตัดกันภายใน $ABC$ ไม่ใช่เหรอครับ

ข้อ 4 เห็นได้ชัดว่า $AEFD$ แนบในวงกลม จะได้ว่า $A \hat DF=A \hat E B$

และจาก $B \hat A E=F \hat D C$ ทำให้ได้ว่า $A \hat D C+A\hat B C=180^{\circ}$

ดังนั้น $ABCD$ แนบในวงกลมเช่นกัน

จากนี้ก็ง่ายแล้วครับ...

ข้อ 5 ลองลาก $RO,OP,OQ$ ครับ จะได้ว่า $POQ$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จากนั้นก็ใช้สมบัติของ cyclic quadriateral หามุมที่เท่ากันครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 ลองต่อ $AQ$ ไปทาง $Q$ จนถึง $R$ โดยที่ $QR=QC$

และหาสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการครับ

จบแล้ว ^^

[BLACK-Dragon]

6. Let $C_1$ and $C_2$ be dijoint circles with centers $O_1$ and $O_2$. A common exterior tangent touches $C_1$ and $C_2$ at $A$ and $B$, respectively. Line segments $O_1O_2$ cuts $C_1$ and $C_2$ at point $C$ and $D$,respectively. Prove that the points $A,B,C$ and $D$ are concyclic.

7.In $\Delta ABC$, the line through $C$ parallel to the bisector of $\hat{B}$ cuts the bisector of $\hat{A}$ at $D$. The line through $C$ parallel to the bisector of $\hat{A}$ cuts the bisector of $\hat{B}$ at $E$.If $DE$ is parallel to $AB$, prove that $ABC$ is an isosceles triangle.

8.Circles $k_1$ and $k_2$ with centers $O_1$ and $O_2$,respectively. intersect at points $A $and $B$ so that the center of each circle lies outside the other circle.Line $O_1A $intersects circle $k_2$ again at point $P_2$ and line $O_2A$ intersects circle $k_1$ again at $P_1$. Prove that the points $O_1,O_2,P_1,P_2, B$ are concyclic.

9.Let $O$ be the center of the circle touching the side $AC$ of triangle $ABC$ and the extensions of the sides $BA$ and $BC$. $D$ is the center of the circle passing through the point $A,B$ and $O$. Prove that the point $A,B,C$ and $D$ are concyclic.

10.Let triangle $ABC$ have orthocenter $H$, and let $P$ be a point on its circumcircle, distinct from $A,B,C$ . Let $E$ be the foot of the altitude $BH$, let $PAQB$ and $PARC$ be parallelograms, and let $AQ$ meet $HR$ in $X$.Prove that $EX$ is parallel to $AP$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 6 Hint : $O_{1}A$ ขนานกับ $O_{2}B$ และ $A \hat O_{1} C$ สัมพันธ์กับมุม $D \hat O_{2} B$ ยังไง

ข้อ 7 Hint : ไล่มุมโดยอ้าง Concyclic แล้วก็หาสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการสองรูปให้ได้

ข้อ 8 Hint : แสดงให้ได้ว่า $P_1,P_2,O_2,O_1$ Cyclic ก่อน (ไล่มุมก็ออก) ที่เหลือก็ใช้ Law of sine แสดงว่า B อยู่บนวงกลมล้อมรอบ $P_1 P_2 O_2 O_1$

ข้อ 9 Hint : วาดรูปดีๆ แล้วอ้างว่ามุมที่จุดศูนย์กลางวงกลมเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง จากนั้นก็แสดงให้ได้ว่า $A \hat D B=B \hat C A$ ครับ

ข้อ 10 ขอเวลาคิดก่อนนะครับ ^^"

สงสัยตรงไหนถามได้นะครับ

[BLACK-Dragon]

11.Let $ABC$ be a triangle,and let $D,E$ and $F$ be the point of tangency of the incircle of the triangle $ABC$ with the sides $BC,CA$ and $AB$ respectively.Let $X$ be in the interior of $ABC$ such that the incircle of $XBC$ touches $XB,XC$ and $BC$ in $Z,Y$ and $D$ respectively.Prove that $E,F,Z,Y$ are concyclic.

12.Let $ABC$ be a triangle, with P and Q arbitrary points on $CA, AB$ respectively. Let $PQ$ meet the circumcircle of $ABC$ at $X$ and $Y$. Prove that the midpoints of $BP, CQ, PQ$ and $XY$ are concyclic.

13.The incircle of triangle ABC touches BC at D and AB at F , intersects the line AD again at H and the line CF again at K. Prove that $\dfrac{FD \cdot HK}{DL \cdot FH}=3$

14.In a right angled-triangle $ABC$, $A\hat{C} B =90^{\circ} $ . Its incircle $O$ meets $BC,AC ,AB$ at $D,E,F$ respectively. $AD$ cuts $O$ at $P$. If $B\hat{P} C=90^{\circ}$, prove $AE+AP=PD$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 13 เป็นข้อสอบเก่า SMO ถ้าจำไม่ผิดจะเป็นปี 2010 ลองใช้สมบัติของ Harmonic Quadrilaterial ครับ

หาใน Google ก็มีข้อมูลเยอะอยู่เหมือนกัน

[BLACK-Dragon]

15.(Vietnam 2003) Circles $C_1$ and $C_2$ are externally tangent at $M$, and radius of $C_2$ is greater than radius of $C_1.A$ is a point on $C_2$ which does not lie on the line joining the centers of the circles.Let $B$ and $C$ be points on $C_1$ such that $AB$ and $AC$ are tangent to $C_1$.Lines $BM$ and $CM$ intersect $C_2$ again at $E$ and $F$ ,respectively.Let $D$ be the intersection of tangent to $C_2$ at $A$ and line $EF$.Show that the locus of $D$ as $A$ varies is straight line.

16.In a cyclic quadrilateral $ABCD$, let $E$ be the intersection of $AD$ and $BC$ (so that C is between $B$ and $E$), and $F$ be the intersection of $AC$ and $BD$. Let $M$ be the midpoint of side $CD$, and $N\not= M$ be a point on the circumcircle of triangle $ ABM$ such that $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NB}$. Show that $E, F,N$ are collinear.

[BLACK-Dragon]

17.Let $ABC$ be a triangle and consider an arbitrary parallel line to $BC$ that cuts $AB$ and $AC$ at $M$ and $N$ respectively. Denote by $P$ the intersection of $BN$ and $CM$. If the circumcircles of the triangles $BMP$ and $CPN$ intersect at $P$ and $Q$, prove that $B\hat{A} Q = C\hat{A} P.$

18.Let $ABC$ be a triangle with $\hat{A} < 60^{\circ}$ . Let $X$ and $Y$ be the points on the sides $AB$ and $BC$, respectively, such that $BA+AY = BC+CY$ and . Let $P$ be the point in the plane such that the lines $PX$ and $PY$ are perpendicular to $AB$ and $BC$, respectively. Prove that $ \angle BPC < 120^\circ $

19.Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $|AB| < |AC|$, altitudes $AD,BE,CF$ and orthocentre $H$. Let $P$ be the intersection of $BC$ and $EF, M$ be the midpoint of $BC$ and $Q$ be the intersection of the circumcircle of $MBF$ and $MCE$.
(a) Prove that $\angle PQM = 90^{\circ}$.
(b) Conclude that $P,H,Q$ are collinear.
(c) Let $\omega$ be the circle passing through $B,C,E, F$. What are the images each of the
points $A,B,C,D,E, F, P, Q,M$ the midpoints of $AB,BC,CA$ and the midpoints of
$AH,BH,CH$ under the inversion about $\omega$?

20.Let $ABC$ be a triangle with circumcircle $\omega$. Let $C_A$ be the circle tangent to $AB$ and $AC$ and internally tangent to $\omega$, touching $\omega$ at $A'$. Define $B',C'$ analogously. Prove that $AA',BB',CC'$ are concurrent.

--------------------------------------------------------

หมด 20 ข้อแล้วครับใครทำข้อไหนได้ก็ช่วยๆ กันหน่อยนะครับ ถ้าจะแสดงวิธีก็ hide ไว้ด้วยนะครับเผื่อคนอื่นอยากคิดต่อ
ปล. ตั้งแต่ 10 ลงมาอาจจะโหด(มาก)หน่อยนะครับ(ผมเองก็ทำไม่ได้)

[~ArT_Ty~]

มี inversion ซะด้วย Oo

[BLACK-Dragon]

11. ใช้ harmonics division จัดการเลยครับ (สวยเวอร์)

[TU Gifted Math#10]

ข้อ 20 มาจาก XII Rioplatense Mathematical Olympiad (2003), Level 3
ข้อ 12 มาจาก IMO 2009 Generalization #27,#29 หรือ http://nguyenvanlinh.files.wordpress...ralization.pdf หรือ http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/...f IMO 2009.pdf

[BLACK-Dragon]

21.Let $AD,BE$ be the altitudes in $\triangle ABC$. (For simplicity assume $\triangle ABC $acute, so that $D, E$ lie on sides $BC, AC;$ however the properties below will still hold true without this restriction).
(a) Prove $\triangle DEC \sim \triangle ABC.$
(b) Construct a point F on AB such that $\angle AEF = \angle DEC $ Prove that $BFEC$ is cyclic, and therefore $CF \bot AB$
(c) Let $H$ be the intersection of $AD, BE$. Prove that $\angle BHD = \angle C = \angle BFD$. Conclude that $C,H, F$ are collinear. This proves that the altitudes are concurrent.

22.Let $ABC$ be an acute angled triangle with $\angle BAC = 60^{\circ}$ and $AB > AC$. Let I be the incenter (intserction of angle bisectors), and H the orthocenter (intersection of altitudes) of triangle $ABC$. Prove that $2\angle AHI = 3\angle ABC$.

[TU Gifted Math#10]

ข้อ 22.

Hint

สี่เหลี่ยม $BCHI$ แนบในวงกลม