ขอทราบเรื่องปริพันธ์ครับ

[differential_x]

ช่วยบอกนิยาม และอธิบายเรื่องปริพันธ์แบบรีมันน์ เลอเบส์ก และเฮนสตอค - เคิร์ซวิล ด้วยครับ งงจริงๆ แบบรีมันน์พอได้บ้าง

1. พอจะนึกออกครับว่านิยามของปริพันธ์แบบรีมันน์ กับเฮนสตอค - เคิร์ซวิล ต่างกันตรง d แต่ผมละนึกไม่ออกครับว่าจะเลือก d ยังไงให้เหมะสม (และมีค่าเป็นบวก) และจะหาปริพันธ์แบบเฮนสตอค - เคิร์ซวิล โดยไม่ต้องสมมุติฟังก์ชัน d ได้มั๊ยครับ (แบบรีมันน์ทำได้)
2. บอกหน่อยครับว่าเมเชอร์มีนิยามยังไง ขอแบบง่ายๆ นะครับ ไม่ต้องใช้ศัพท์สูงมาก เช่น sigma - algebra อะไรอย่างนี้ (คืออะไรผมก็ไม่รู้)
3. ยกตัวอย่างที่เห็นชัด และละเอียดด้วยครับ ประมาณ 2 - 3 ตัวอย่าง แบบรีมันน์ไม่ต้องก็ได้ ขอแบบเลอเบส์ก และแบบเฮนสตอค - เคิร์ซวิล
4. ขอทฤษฎีบทที่ได้จากปริพันธ์แต่ละแบบด้วย
5. ถ้ามีปริพันธ์แบบอื่นก็บอกได้นะครับ พร้อมนิยามและทฤษฎีบทที่ได้

[M@gpie]

ปริพันธ์รีมันน์ ก็เป็นปริพันธ์ที่ใช้กันอยู่ทุกวันนี้แหละครับ ศึกษาได้จากแคลคูลัสทั่วไป
แต่ว่าปริพันธ์รีมันน์ยังมีข้อจำกัดอยู่ จึงเกิดทฤษฏีใหม่ๆขึ้นหลายคน แต่ที่ประสบความสำเร็จและยอมรับกันมากที่สุดก็คงเป็น ปริพันธ์เลอเบก โดย Henri Lebesgue

เปรียบเทียบความแตกต่างของทั้งสองปริพันธ์ก็จากตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติว่าพ่อค้าคนหนึ่งอยากจะหายอดขายในช่วงเวลาหนึ่งก็ทำได้โดยการบวกยอดขายทั้งหมดเข้าด้วยกัน ตามลำดับการขายที่เกิดขึ้น เช่น 5+10+1+1+25+5+10+50+25+10 =142 บาท (เป็นวิธีของปริพันธ์รีมันน์ ซึ่งจะแบ่งโดเมนออกเป็นส่วนย่อยๆ)
หรือเขาอาจจะแบ่งเหรียญที่ได้ออกเป็นกองๆ ตามมูลค่าเช่น เหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญห้าบาท 4 เหรียญ เหรียญสิบบาท 6 เหรียญ และ ธนบัตร 20 บาท 3 ฉบับแล้วทำการรวมยอด 1x2 +5x4+10x6+20x3 = 142 (เป็นวิธีของเลอเบก ซึ่งจะแบ่งพิสัยออกเป็นส่วนย่อยๆ)

ตัวอย่างฟังก์ชันที่นิยมใช้ในหนังสือทุกเล่มก็คือฟังก์ชันดีริคเลตที่นิยามโดย
\( f:[0,1] \rightarrow R \)
\[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} 1 & ; & x\in Q \cap [0,1] \\ 0 & ; & x \in Q\prime \cap [0,1] \end{array} \]
ซึ่งวิธีของปริพันธ์รีมันน์ไม่สามารถหาได้เนื่องจากฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องทุกที่บน [0,1] แต่ทฤษฏีการหาปริพันธ์ของเลอเบก ตอบได้ว่า \( \int_{[0,1]} f d\mu =0 \)

ซึ่งทฤษฏีปริพันธ์เลอเบก ต้องอาศัยสิ่งที่เรียกว่า ทฤษฏีเมเชอร์ ซึ่ง เป็นทฤษฏีที่อธิบายเกี่ยวกับการวัดขนาดของเซต ส่วน ปริพันธ์คูลไวท์ -เฮนสต๊อก ผมไม่เคยศึกษานะครับ ยังไม่ทราบรายละเอียด
ส่วนทฤษฏีบทที่ได้ก็มีเยอะแยะมากมายครับ ที่เด่นๆ ก็จะเป็น
ทฤษฏีบทการลู่เข้าทางเดียวเลอเบก : Lebesgue Monotone Convergence Theorem
ทฤษฏีการลู่เข้าแบบครอบงำเลอเบก : Lebesgue Dominated Convergence Theorem

[differential_x]

รู้สึกฟังก์ชันดิริคเลตนี้คุ้นหูคุ้นตาจริงๆ ใครๆ ก็ใช้เป็นตัวอย่าง (อย่างน้อยก็ไม่ใช่ฟังก์ชันคันทอร์มั๊ง)
แล้วนิยามล่ะครับ แน่นอนต้องอาศัยเมเชอร์นิยามปริพันธ์เลอเบส์ก แต่จะช่วยบอก และอธิบายนิยามให้แจ่มแจ้งด้วยได้มั๊ยครับ

[M@gpie]

ผมคงจะไม่สามารถอธิบายให้ภายในนี้ไม่ได้หรอกครับ เพราะร่ายยาวกันได้เป็นเล่มเลยทีเดียว ไม่รู้จะเริ่มจากตรงไหนก่อนดี