Absolutely Continous ??

[M@gpie]

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันมีได้หลายแบบ ดังนี้คือ
1. ให้ \( f:A\rightarrow R \; \; \) และ \( x_0 \in A \) เราจะกล่าวว่า \( \; f \; \) ต่อเนื่องที่จุด \( \; \ x_0 \; \)
ถ้ากำหนดให้ \(\; \epsilon >0 \; \) แล้วเราสามารถหา \( \; \delta >0 \ ;\) ซึ่ง
\[ |x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \]
2. ให้ \( f:A\rightarrow R \; \; \) และ \( x_0 \in A \) เราจะกล่าวว่า \( \; f \; \) ต่อเนื่องเอกรูปบน \( \; A \;\)
ถ้ากำหนดให้ \(\; \epsilon >0 \; \) แล้วเราสามารถหา \( \; \delta >0 \ ;\) ซึ่ง
\[ |x-y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon \; \; \; \forall x,y \in A\]
จะเห็นว่า ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องแบบเอกรูปจะต่อเนื่องทุกจุดใน A แต่บทกลับไม่จริง
แต่มีความต่อเนื่องอีกแบบหนึ่งคือ absolutely continuous
3. ให้ \( f:A\rightarrow R \; \; \) และ \( x_0 \in A \) เราจะกล่าวว่า \( \; f \; \) ต่อเนื่องสัมบูรณ์บน \( \; A \;\) ถ้า
\[ \sum_{i=1}^n |f(x '_i)- f(x_i)| < \epsilon \] \[ \; for \; every \; finite \; collection \; \{ (x_i , x \prime _i) \} \; of \; nonoverlapping \; intevals \; with \; \; \] \[ \sum_{i=1}^{n} | x '_i - x_i | < \delta \]

(ข้อความในข้อ 3 ผมไม่กล้าแปลเป็นไทยครับ กลัวผิดความหมาย)
ซึ่งผมไม่เข้าใจว่า absolutely แตกต่างกับ uniformly อย่างไร ตามความเข้าใจและการสังเกตผลที่หนังสือเค้าทำไปใช้ คือ absolutely น่าจะเข้มกว่า uniformly แต่ว่าผมมองไม่ออกว่าฟังก์ชันที่ absolutely continous จะมีหน้าตาเป็นอย่างไร และต่างกับ uniformly continuous อย่างไร ก็ขอรบกวนพี่ๆลองหาตัวอย่างฟังก์ชันให้ผมดูซักหน่อย พร้อมอธิบายความแตกต่าง ก็จะดีมากๆเลยครับ

Reference :
1. Introduction to Real analysis ; Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert
2. Real analysis ; Royden

[differential_x]

ผมนึกฟังก์ชันที่ต่อเนื่องสัมบูรณ์ไม่ออกครับ เพราะผมไม่เคยเห็นหน้าตาเหมือนกัน นึกออกแต่ว่ามีฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องสัมบูรณ์ แต่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (เช่นฟังก์ชันคันทอร์ หรือ f(x) = x^{ 2 } กำหนดโดเมนของ f ให้เป็นช่วงอนันต์)

ส่วนคำว่า nonoverlapping มีความหมายเดียวกับ disjoint

[SOS_math]

ขอแปลข้อสามให้นะครับ

สำหรับทุก ๆ ช่วงจำกัด $(x_1,x'_1),\dots,(x_n,x'_n)$ ที่ไม่ตัดกันเลย และมีสมบัติว่า
$$\sum_{i=1}^n x'_i-x_i<\delta$$