FFTMO9

[~ArT_Ty~]

พิสูจน์หน่อยครับ คุณ Andromeda

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

(#378)::

พิจารณา $n \geqslant 4$

จะพบว่า $\dfrac{n}{2}$ $\leqslant$ $n-2$ นั่นคือตัวประกอบทั้งหมดที่ไม่ใช่ตัวมันเองจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ n-2 ---(1)

ให้ $n = p_1^{i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k}$ พิจารณา $p_1^{i_1}$ ถ้า $p_2^{i_2}...p_k^{i_k} \geqslant 3$ จะพบว่า $n!$ มี $p_1^{i_1}$ ที่หาร n ลงตัวอยู่อย่างน้อย 3 ตัว

ซึ่งจาก (1) ถ้าไม่รวม n จะมี$p_1^{i_1}$ ที่หาร n ลงตัวอยู่อย่างน้อย 2 ตัว ทำให้ $(p_1^{2i_1}) \ | \ (n-2)!$

ในทำนองเดียวกันกับ $p_2,...,p_k$

ดังนั้น จะมี $p_m, 1 \leqslant m \leqslant k$ ซึ่ง $p_1^{i_1}...p_{m-1}^{i_{m-1}}p_{m+1}^{i_{m+1}}...p_k^{i_k} < 3$ หรือจะสามารถเขียน $n = p_1^{i_1}$

$\therefore n = p_1^{i_1} \vee n = 2p_1^{i_1}$ ซึ่งแทนค่ากลับพบว่าจริง
พิจารณากรณี $n = 2,3$ พบว่าเป็นจริง

ดังนั้น $ n = p^{i} \vee n = 2p^{i}$ เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ, i เป็นจำนวนนับ

คร่าวๆนะ
case1: $n=p^i,\exists p$ is prime
ได้ว่า $n-2=p^i-2>p,2p,3p,...,(p^{i-1}-1)p$โดยแตกต่างกันทั้งหมดถ้า$p^{i-1}-1\geqslant 2i$จะได้$p(2p)(3p)...((p^{i-1}-1)p)|(n-2)!\Rightarrow n^2=p^{2i}|(n-2)!$ Contradiction! ดังนั้น $p^{i-1}-1<2i..........(*)$
ถ้า$i\geqslant 5$ โดย induction เราได้$2^{i-1}-1>2i$ ทำให้ได้ $p^{i-1}-1\geqslant 2^{i-1}-1>2i$, Contradiction with$(*)$ ดังนั้น $i\leqslant 4$
case1.1 :$i=1\Rightarrow n=p$ เป็นคำตอบ
case1.2 :$i=2\Rightarrow p-1<4\Rightarrow p=3,2$ ($\because (*)$) ทำให้ได้ $n=2^2=4 $ หรือ $n=3^2=9$
case1.3: $i=3\Rightarrow p^2-1<6\Rightarrow p=2$ ($\because (*)$) ทำให้ได้ $n=2^3=8 $
case1.4: $i=4\Rightarrow p^3-1<8\Rightarrow p=2$ ($\because (*)$) ทำให้ได้ $n=2^4=16$ ซึ่งไม่เป็นคำตอบ
case2: $n=2p^i,\exists p $is prime ในทำนองเดียวกับ case 1 จะได้ว่า n=2p เป็นคำตอบด้วย
$\therefore n=p,2p,8,9$ โดย $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ เท่านั้น $\square$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

เอ่อขอปล่อยพวกโจทย์ Number Theory,Algebra บ้างนะครับ
1.ให้ p,q เป็นจำนวนเฉพาะที่ทำให้ $ pq\mid(5^p+5^q)$ จงหาคู่อันดับ (p,q) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
4.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$

ข้อ1แยกกรณี $p,q=5,p,q\not= 5$ แล้วใช้การหารลงตัวธรรมดา ตอนจบใช้ order ขัดแย้ง

ข้อ4

จะเห็นว่า $x\not= 0$
ให้ $x<0$ พิจารณา case1:$\left \lfloor x \right \rfloor$เป็นจำนวนคี่ลบจะได้ $\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}<0$ ,Contradiction!
case2:$\left \lfloor x \right \rfloor$เป็นจำนวนคี่บวกจะได้$\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}<1$,Contradiction!
ดังนั้น $x>0$ ให้ $x\geqslant 3$จะได้$\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}\geqslant 3^3=27$,Contradiction! ดังนั้น $0<x<3$ แบ่งกรณีเป็น
case1:$0<x\leqslant 1\Rightarrow \left \lfloor x \right \rfloor=0$ จะได้ $\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=x^0=1$,Contradiction!
case2:$1<x\leqslant 2\Rightarrow \left \lfloor x \right \rfloor=1$ จะได้ $\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=x^1=x $,Contradiction!(กับเงื่อนไข)
case3:$2<x< 3\Rightarrow \left \lfloor x \right \rfloor=2$ จะได้ $\frac{9}{2}=x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=x^2\Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2} } $เป็นคำตอบ
$\therefore x=\frac{3}{\sqrt{2} }$ เท่านั้น $\square$

ปล.ช่วยเฉลยกันหน่อยครับ เจ้าของโจทย์ก็ดีฮะ

[Beatmania]

ขอโทษที่หายไปนานนะครับ

ฉบับไม่แปลที เขียนไว้อย่างนี้ครับ

Prove that for each positive integer $n$ there exist $n$ consecutive positive integer , none of which is an integral power of prime.

แปลออกมามั่วหน่อยต้องขอโทษด้วยครับ

[passer-by]

แปะไว้เป็นยกสุดท้ายก่อนสอบ TMO ครับ

Q8 : หา $ f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
(i) $ \{ f(x+y) \} =\{ f(x) +f(y) \} $ (Note : {x} คือ fractional part ของ x)
(ii) $ | (f(x+z)-f(y+z)) - ( f(x) -f(y))| \leq \frac{2}{3} $ ทุกจำนวนตรรกยะ x,y,z

Q9 : สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC (AB ยาวไม่เท่ากับ AC) มี AD , BE , CF เป็นมัธยฐาน และ $ AA_1 , BB_1 , CC_1$ เป็นส่วนสูง ถ้า $ (AB_1C_1)$ ตัด AD ที่ X , $ (BC_1A_1)$ ตัด BE ที่ Y , $ (CA_1B_1)$ ตัด CF ที่ Z พิสูจน์ $ DX +EY+ FZ > \frac{a+b+c}{4} $

Q10 : a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} \leq \frac{6}{5} $$

Q11: f(n) แทนเลขท้ายสุดที่ไม่เป็น 0 ของ n! หาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ f(25n)+ f(n) เมื่อ n เป็นเลขคึ่ >1

Q12: นักเรียน 90 คน แต่ละคนมีเพื่อน $ \geq 30$ ( ถ้า A รู้จัก B แล้ว B รู้จัก A ) พิสูจน์ว่าสามารถแบ่งเป็น 3 กลุ่ม ๆละ 30 คน โดยแต่ละคน มีเพื่อนในกลุ่มนั้น $ \geq 1$ คน

Hint :

Q8

พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า f(x+y) - f(x) - f(y) เป็น constant for all x,y

Q9

พิสูจน์ $DB_1$ สัมผัส $(AB_1C_1)$

Q11

หาความสัมพันธ์ระหว่าง f(5n) และ f(n) ให้ได้

Q12

นับกรณี แบ่ง 30-30-30 โดนมีบางคนไม่มีเพื่อนในกลุ่มนั้น และหาขอบเขตบน

[Pain 7th]

Q 10 :

โดยหลักการ Homogeneous ให้ $a+b+c=1$ กลายเป็นว่าเราต้องพิสูจน์ $$\sum_{cyc} \dfrac{a-a^2}{2a^2-2a+1} \leq \dfrac{6}{5}$$
จาก $-(3a-1)^2(\dfrac{6a+1}{25(2a^2-2a+1)}) \leq 0$ ซึ่งเราจะได้ว่า $\dfrac{x-x^2}{2x^2-2x+1} \leq \dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{25}(3x-1)$ * * *
เพราะฉะนั้น $$\sum_{cyc} \dfrac{a-a^2}{2a^2-2a+1} \leq \dfrac{6}{5}$$
จริงๆแล้ว เดี๋ยวผมมาพิมพ์ที่ผม * * * ให้เพราะมันเป็นวิธีที่ดีทีเดียว

ปล. TMO 9 จบไปแล้วชั่งมันครับ ใครที่ผิดหวังก็อย่าพึ่งท้อแท้ สิ่งที่เราเจอเป็นแค่เรื่องเล็ก ๆ ในชีวิตเราเป็นประสบการณ์ที่ดี
ถ้าคนไหนยังมีสิทธิ์สอบได้ก็สมัครกันเถอะครับ อย่าไปกังวลว่ามีแต่รุ่นน้อง อย่าพึ่งไปท้อแท้กับมันครับ บนโลกนี้ยังมีที่ให้เราโบยบินอีกหลาย ๆ ที่ สู้ๆครับปีนี้มาเริ่มใหม่

[~ArT_Ty~]

ขอบคุณครับสำหรับคำปลอบใจ แต่ผมคิดว่า ผมพอดีกว่าสำหรับ สอวน.

เพราะผมอยากกลับไปสอนน้องๆที่เขายังมีความมุ่งมั่นและโอกาสดีกว่าอ่ะครับ

แต่ปีนี้ดีใจ ศูนย์เก่าได้ 6 ทองแดง 555+

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ขอบคุณครับสำหรับคำปลอบใจ แต่ผมคิดว่า ผมพอดีกว่าสำหรับ สอวน.

เพราะผมอยากกลับไปสอนน้องๆที่เขายังมีความมุ่งมั่นและโอกาสดีกว่าอ่ะครับ

แต่ปีนี้ดีใจ ศูนย์เก่าได้ 6 ทองแดง 555+

เป็นความคิดที่น่า ยกย่องบวก น่าชื่นชมมากๆครับ

แต่ผมเหลืออีกปีนี้ปีเดียว (อยู่ ม.5 แก่สุดๆ 55555) ผมก็ยังอยากเข้าอยู่เพราะผมยังไม่เคยเข้าเลย ๆ

[จูกัดเหลียง]

#397 มันก็เป็นทางเลือกที่ดีครับ เเต่ถ้าเข้าสอวน.เเล้วไปพบน้องๆ ที่ TMO10 ก็ได้นี่ครับ = =
#396,398 ก็อีกหนึ่งความคิดที่ยอดเลยครับ ผมอยากเข้าอีกเหมือนกัน ^^ ปล.เรื่องความเเก่นี่ไม่ต่างกันครับ 555+

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Plane Geometry

13. สามเหลี่ยม มุมฉาก ABC มี B เป็นมุมฉาก , A-excircle สัมผัสด้าน BC ที่ $A_1$ และสัมผัสส่วนต่อของ AC ที่ $A_2$ , ให้ $A_1A_2$ ตัดวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC ครั้งแรกที่ $A'$ , นิยาม $C'$ ในลักษณะเดียวกัน ,พิสูจน์ $AC$ ขนานกับ $A'C'$

Hint ให้หน่อยได้ไหมครับ (ใช้ Homothety ,Inversion รึเปล่าอ่ะครับ)

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

Hint ให้หน่อยได้ไหมครับ (ใช้ Homothety ,Inversion รึเปล่าอ่ะครับ)

แค่ FFTMO คงไม่ต้องใช้ homothety inversion หรอกครับ

ข้อนี้ ไอเดียคือพิสูจน์ $ IA' // AC$ ได้ก็จบแล้วครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

แค่ FFTMO คงไม่ต้องใช้ homothety inversion หรอกครับ

ข้อนี้ ไอเดียคือพิสูจน์ $ IA' // AC$ ได้ก็จบแล้วครับ

เราควรจะเริ่มจากมองตรงไหนอ่ะครับ เช่น เรามองยังไงว่า I อยู่บน $A'C'$

[passer-by]

ผมเชือว่า แวบแรก ไม่มีใครรู้ทันทีหรอกครับว่า I อยู่บน A'C'

แต่โจทย์พวก "นิยาม....ในลักษณะเดียวกัน" มันพอจะใบ้ได้ว่า เราอาจจะพิสูจน์กรณี A' อย่างเดียวก็พอ แล้วไป apply กรณี C' จากนั้นเราก็มาดูว่า รูปมันสัมพันธ์กับ incircle ก็เลยน่าจะเอา I มาช่วย

อย่างไรก็ตามแต่ สุดท้ายมันก็เป็นเรื่องลองผิดลองถูกกับเรื่องของประสบการณ์ประกอบกันครับ

[จูกัดเหลียง]

Q8 นี่จะเเสดงยังไงอ่ะครับ ช่วยใบ้ให้อีก(ไม่)นิดเถอะครับ
ขอบคุณครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Q8 นี่จะเเสดงยังไงอ่ะครับ ช่วยใบ้ให้อีก(ไม่)นิดเถอะครับ
ขอบคุณครับ

ข้อนี้มี 2 ขั้นตอนครับ

ขั้นแรก คือ พิสูจน์ hint ให้ได้ก่อน สังเกตว่า f(x+y)-f(x)-f(y) เป็นจำนวนเต็ม จากนั้น fix y แล้วใช้ contradiction + apply เงื่อนไขที่ 2 ก็เรียบร้อยครับ

ต่อไปก็ต้องพิสูจน์ว่า constant ที่ได้จาก ทุก y เหมือนกัน

ขั้นที่ 2 : define g ในเทอมของ f เพื่อจัดรูปไปสู่ cauchy condition ครับ

Note : ข้อนี้ผม adapt มาจากโจทย์ใน magazine ของเวียดนามครับ