Continuity of vector space operations

[Lekkoksung]

ช่วยแสดงให้ดูหน่อยนะครับ

Show that in a normed space $X$, vector addition and multiplication by scalars are continuous operations with respect to the norm; that is, the mappings defined by $(x,y) \mapsto x+y$ and $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ are continuous.

ขอบคุณมากนะครับ

[nooonuii]

ใช้นิยามความต่อเนื่องแบบไหนครับ

ขอทำแบบลำดับให้ดูนะครับ

สมมติ $(x_n,y_n)\to (x,y)$

ดังนั้น $x_n\to x,y_n\to y$

จึงได้ $+(x_n,y_n)=x_n+y_n\to x+y$

ดังนั้น $+$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

อีกอันนึงก็แทบจะไม่ต้องทำอะไรเลยครับ

ตามนิยามการลู่เข้าทุกอย่าง

[Lekkoksung]

อีกแบบทำยังไงครับพี่

[nooonuii]

ก็สมมติ $(\alpha_n,x_n)\to (\alpha,x)$

ที่เหลือก็ทำเหมือนเดิมครับ

[Lekkoksung]

พี่ครับ ผมขอนิยามความต่อเนื่องในแต่ละแบบหน่อยครับพี่

ขอบคุณครับ

ช่วยเช็คข้อที่สองหน่อยครับ เราจะแสดงว่า $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$

พิจารณา
$$\begin{eqnarray*}
||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x|| &=& ||\alpha_{n}x_{n}-\alpha_{n}x+\alpha_{n}x-\alpha x|| \\
&\leq & |\alpha_{n}|||x_{n}-x||+||x||||\alpha_{n}-\alpha||
\end{eqnarray*}$$
เนื่องจาก $(\alpha_{n})$ เป็นลำดับลู่เข้า ดังนั้น $(\alpha_{n})$ เป็นลำดับที่มีขอบเขต นั่นคือ จะมีจำนวนจริงบวก $M_{1}$ ที่ทำให้ $|\alpha_{n}|\leq M_{1}$ สำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$
ให้ $M=\max\{M_{1}, ||x||\}$ ดังนั้นสำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$
$$||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x|| \leq M||x_{n}-x||+M||\alpha_{n}-\alpha||$$
ให้ $\epsilon > 0$ และสมมติว่า $(\alpha_{n}, x_{n}) \rightarrow (\alpha, x)$
เราจะได้ว่า $\alpha_{n} \rightarrow \alpha$ และ $x_{n} \rightarrow x$
นั่นคือ จะมีจำนวนเต็มบวก $K_{1}, K_{2}$ ที่ทำให้
$$||\alpha_{n}-\alpha||<\dfrac{\epsilon}{2M} \qquad \textrm{และ} \qquad ||x_{n}-x||<\dfrac{\epsilon}{2M}$$
สำหรับทุก $n \geq K_{1},K_{2}$
ต่อมาให้ $K=\max\{K_{1}, K_{2}\}$ ดังนั้นถ้า $n \geq K$ แล้ว $||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x||<M \dfrac{\epsilon}{2M}+M\dfrac{\epsilon}{2M}= \epsilon$
นั่นคือ $\cdot (\alpha_{n}, x_{n}) \rightarrow \cdot (\alpha , x)$

เช็คให้หน่อยนะครับ ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

สมบูรณ์แล้วครับ

ความต่อเนื่องก็นิยามแบบ $\delta-\epsilon$ สำหรับ metric space

แต่ถ้าเป็น topological space ใดๆ ก็ใช้

$f^{-1}(V)$ เป็น open set สำหรับทุก open set $V$

ในส่วนของ space ที่มีสมบัติดีหน่อยอย่างเช่น metric space

เราสามารถพิสูจน์ผ่านทาง sequence ได้ด้วยครับ เหมือนที่ผมทำให้ดู

[Lekkoksung]

ขอบพระคุณมากครับอ้ายหนุ่ย