LEMMA รูป n พจน์

[กระบี่ทะลวงด่าน]

Lemma:
$[a_1+a_2+...+a_n]^{n-1} \geqslant n^{n-2}[(a_1a_2...a_{n-1})+(a_1a_2...a_{n-2}a_n)+...+(a_2a_3...a_n)]$

คือว่า lemma นี้ผมลองตั้งขึ้นเองเเล้วพบว่า เป็นจริงสำหรับ n=3,4 ก็เลยขยายเป็น n พจน์ ปรากฏว่าวิธีการพิสูจน์ยุ่งยากจนคิดว่าเป็นไปไม่ได้ ก็เลยรบกวนถามว่า lemma นี่จริงหรือไม่ ถ้าจริงช่วยเเนะเเนวพิสูจน์หน่อยได้ไหมครับว่าใช้อสมการใดพิสูจน์ ถ้าเท็จก็ช่วยยกตัวอย่างค้านให้หน่อยนะครับ

[Beatmania]

พิสูจน์ได้โดย Muirhead's inequality ครับ ลองหาอ่านดูนะครับ (ผมอาจจะคิดผิดครับ ขอโทษด้วย = =)
ปล. หรือว่าใช้ maclaurin ก็ได้ครับ

[nooonuii]

เห็นในเล่มของ Pham Kim Hung มีพิสูจน์กรณี $4$ ตัวแปรไว้ แต่ใช้เทคนิคเฉพาะมากจนขยายไม่ได้

อยากเห็นวิธีพิสูจน์กรณี 3,4 ตัวแปรครับ เผื่อว่าจะช่วยปรับได้ ผมลองคิดอยู่เกือบชั่วโมงก็ยังไม่ออก

ก็เลยขอหยุดก่อน ไม่ได้เล่นอสมการมานานมากแล้วคงต้องเคาะสนิมอีกหลายวัน

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ขอบคุณสำหรับคุณ beatmania. เเละคุณ nooonuii นะครับ
ส่วนการพิสูจน์กรณี n=3 เห็นได้ชัด
ดังนั้นการพิสูจน์ n=4. ซึ่งคือ $[a+b+c+d]^3\geqslant 16(abc +abd+ acd+ bcd)$
จะพบว่่า $[a+b+c+d]^3=(a^3+...)+3(a^2b+...)+6(abc+...)$
1.พิจารณา $(a^3+...)$
จะพบว่า $a^3+b^3+c^3\geqslant 3abc$. ....ทำ amgm เช่นนี้จนครบทั้ง 4กรณีเเล้วนำมารวมกันเเล้วหารสามได้
$a^3+...+d^3\geqslant abc+ abd +acd +bcd$
2. เช่นเดียวกับ 1. จัดรูป เป็น4กรณี รวมกันเเล้วจะได้
$3(a^2b+...)\geqslant 9(abc+...)$
3. เก็บไว้ไม่สนใจกรณีนี้
$\therefore$ จาก 1-3 นำมารวมกันเเล้วจัดรูปได้ $[a+b+c+d]^3\geqslant 16(abc +abd+ acd+ bcd)$
ตามต้องการ จบการพิสูจน์ lemma n=4