Integrate แบบนี้ทำยังไงครับ ผมงง

[BankTheerawut]

$\int{\frac{x}{\ln(x)}dx}$ จะอินทริเกรตยังไงครับ ขอบคุณครับ

[kingkongcharoen_tor]

อินทริเกรตตัวแปรยูไง

ได้ $du$ = ${\frac{1}{x}}dx$ ได้ $dx$ = $xdu$

$\int{\frac{x}{\ln(x)}du}$

(อ้าวเฮ้ย!! มี $xdu$ เหมือนกันเลย จับมันเท่ากับ $dx$ ไปเลย)

$\int{\frac{1}{lnx}dx}$

เป็นอันว่าจัดรูปแบบ U เสร็จ
ต่อด้วยอินทิเกรต

มอง ln เป็น U $dx$ = $xdu$

$\int{\frac{1}{u}xdu}$

คิดไม่ออกแล้ว งง เหมือนกัน

น่าจะ By Part ต่อนะ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

น่าจะไม่ใช่ความรู้ Cal1 นะครับ น่าจะเป็นพวกรูปแบบที่ไม่ใช่ fundamental มากกว่า

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kingkongcharoen_tor

อินทริเกรตตัวแปรยูไง

ได้ $du$ = ${\frac{1}{x}}dx$ ได้ $dx$ = $xdu$

$\int{\frac{x}{\ln(x)}du}$

(อ้าวเฮ้ย!! มี $xdu$ เหมือนกันเลย จับมันเท่ากับ $dx$ ไปเลย)

$\int{\frac{1}{lnx}dx}$

เป็นอันว่าจัดรูปแบบ U เสร็จ
ต่อด้วยอินทิเกรต

มอง ln เป็น U $dx$ = $xdu$

$\int{\frac{1}{u}xdu}$

คิดไม่ออกแล้ว งง เหมือนกัน

น่าจะ By Part ต่อนะ

โจทย์เป็น $\int\frac{x}{lnx}dx$ ไม่ใช่เหรอครับ

[kingkongcharoen_tor]

รู้แล้วๆๆๆๆ มาแก้ครับ

$\int{\frac{x}{\ln(x)}dx} $

lnx มันอยู่ข้างล่างใช่ไหม

ก็คือ lnx กำลัง -1 ใช่ไหม

ln มันเอา -1 ไว้หน้าได้นี่

จะเป็น


$\int{xlnx^{-1}dx} $

$-\int{xlnxdx} $

เอาลบไว้นอกอินทิเกรตได้ครับ

$-\int{xlnxdx} $
แล้ว ใช้เทคนิคการ By Part

$\int{udv}= uv - \int{vdu} $

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kingkongcharoen_tor

รู้แล้วๆๆๆๆ มาแก้ครับ

$\int{\frac{x}{\ln(x)}dx} $

lnx มันอยู่ข้างล่างใช่ไหม

ก็คือ lnx กำลัง -1 ใช่ไหม

ln มันเอา -1 ไว้หน้าได้นี่

จะเป็น


$\int{xlnx^{-1}dx} $

$-\int{xlnxdx} $

เอาลบไว้นอกอินทิเกรตได้ครับ

$-\int{xlnxdx} $
แล้ว ใช้เทคนิคการ By Part

$\int{udv}= uv - \int{vdu} $

$ln x^{-1} = ln(\frac{1}{x}) \ne (ln x)^{-1}$

[oat_kung]

ผมว่า by part น่าจะออกนะครับข้อนี้

[NNA-MATH]

เอ่อ ผม by part แล้วติดตรง
$\int(lnx)^{-1}\,dx$ น่ะคับ

[-InnoXenT-]

ข้อนี้ รู้สึกจะไม่มี closed form นะครับ

[Amankris]

ตามนี้เลยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ข้อนี้ รู้สึกจะไม่มี closed form นะครับ

เพิ่มเติมนะครับ
$$\textrm{li}(z)=\displaystyle \int_{0}^{z}\,\frac{1}{\textrm {ln}\,x}dx $$

จะได้ว่า
$$\textrm{li}(x)=\gamma +\textrm {ln} \left(\textrm {ln}\,x\right)+\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\left(\textrm {ln}\,x\right)^k}{k\cdot k!} $$

เมื่อ $\gamma$ คือ Euler-Mascheroni Constant
$$\gamma =\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}-\textrm {ln}\,n \right)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\textrm {H}_n-\textrm {ln}\,n\right)=\displaystyle \int_{1}^{\infty}\,\left(\frac{1}{\left\lfloor\,x\right\rfloor}-\frac{1}{x}\right) dx$$
$$\gamma \approx 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992...$$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BankTheerawut

$\int{\frac{x}{\ln(x)}dx}$ จะอินทริเกรตยังไงครับ ขอบคุณครับ

ลอง ให้ $x=e^u$ ดูสิครับ จากนั้นตามด้วย Taylor series

ส่วนคำตอบจะหาค่าได้หรือเปล่า ก็ต้องขึ้นกับขอบเขตการอินทิเกรตแล้วล่ะครับ

ผมคิดว่าคำตอบน่าจะเกี่ยวข้องกับ Li(x) เหมือนทีคุณ Amankris note ไว้ในความเห็นก่อนหน้า

[BankTheerawut]

ขอบคุณมากครับสำหรับทุกๆ ความคิดเห็น