ระบบจำนวนจริง

[PURE MATH]

เอาโจทย์ระบบจำนวนจริงมาฝากครับ

1. $$กำหนดให้ x,y,z\in \mathbb{Z} จงหา n\in \mathbb{Z} ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ
(x^2+y^2+z^2 )^2≤n(x^4+y^4+z^4 )$$
2. $$จงพิสูจน์ว่า ถ้า |x|<1 และ |y|<1 แล้ว |x+y|<|1+xy|$$
3. $$จงหาเซตคำตอบของอสมการ (x-|x-1| )(x^2-|x| )\geqslant 0$$
4. $$จงหาเซตคำตอบของอสมการ √(√(x+1)+x^2 )\leqslant 1-x$$
5. $$ให้ a\geqslant 1 และ x\in \mathbf{R} ผลบวกของรากของ \sqrt{a-\sqrt{a-x} } = x มีค่าเท่ากับเท่าใด$$

[cardinopolynomial]

1.$x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\leq 3(x^4+y^4+z^4) $

จาก $(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2 \geq 0$

[cardinopolynomial]

$5.x=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$

[cardinopolynomial]

3.$[-1,\frac{1}{2}] \bigcup [1,\infty)$

[cardinopolynomial]

$4.[-1,0]$

[cardinopolynomial]

2.จากข้อเท็จจริงที่ว่า $|x|+|y| \geq |x+y|$ เเละ $|x||y|=|xy|$

ได้ว่า $|xy|<1$ เเละ $1+|xy| \geq |1+xy| > |x|+|y|$

$|1+xy|>|x+y|$

ไม่ค่อยเเน่ใจน่ะคับ

[PURE MATH]

ผมตั้งผิดห้อง โทดทีครับ >< มันย้ายหัวข้อได้มั้ยครับ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

2.จากข้อเท็จจริงที่ว่า $|x|+|y| \geq |x+y|$ เเละ $|x||y|=|xy|$

ได้ว่า $|xy|<1$ เเละ $1+|xy| \geq |1+xy| > |x|+|y|$

$|1+xy|>|x+y|$

ไม่ค่อยเเน่ใจน่ะคับ

|1+xy|>|x|+|y|มายังไงหรอครับ

[gnap]

5. $$ให้ a\geqslant 1 และ x\in \mathbf{R} ผลบวกของรากของ \sqrt{a-\sqrt{a-x} } = x มีค่าเท่ากับเท่าใด$$[/quote]

ยกกำลังสอง

$a-\sqrt{a-x}=x^2$
$a-x-\sqrt{a-x}=x^2-x$
$a-x-x^2=\sqrt{a-x}-x$
$(\sqrt{a-x}-x)(\sqrt{a-x}+x)-(\sqrt{a-x}-x)=0$
$(\sqrt{a-x}-x)(\sqrt{a-x}+x-1)=0$
$1.\sqrt{a-x}=x$
$a-x=x^2$
$x^2+x-a=0$
$ผลบวก=-1$
$2.\sqrt{a-x}=1-x$
$x^2+x+1-a=0$
$ผลบวก=-1$
$ดังนั้น ผลบวกทั้งหมด=-2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

2. $$จงพิสูจน์ว่า ถ้า |x|<1 และ |y|<1 แล้ว |x+y|<|1+xy|$$

จับมายกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้กำจัดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ทิ้ง

[Anarist]

$ (\sqrt{a-x}-x)(\sqrt{a-x}+x-1)=0$

แก้สวยแล้ว แต่สมการติดรูทต้องเช็คคำตอบดีๆนะครับ
เช่นจากโจทย์ x เป็นรูทของจำนวนจริง เพราะฉะนั้นเป็นลบไม่ได้
ทั้งสองกรณีต้องตัดรากลบทิ้งไป

กรณีแรก แก้ได้ $x = \frac{\sqrt{4a+1}-1}{2}$
ตรวจสอบได้ว่า $a -x \geq 0$ อันนี้เป็นคำตอบแน่นอน

ส่วนกรณีสอง เราแก้ได้ $x = \frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$
แต่ $1-x$ ห้ามเป็นลบด้วย
ซึ่ง $1-x \geq 0$ ก็ต่อเมื่อ $1 \geq a$
เลยต้องแบ่งพิเศษทั้ $a= 1$ กับ $a >1$

คำตอบเลยเป็น $\frac{\sqrt{4a+1}-1}{2}$ เมื่อ $a > 1$
และ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ เฉพาะ $a = 1$

[Anarist]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

2. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $|x|<1 $และ $|y|<1$ แล้ว $|x+y|<|1+xy|$

สังเกตุว่า $|xy| < 1$ เพราะฉะนั้น 1 + xy > 0 ถอด absolute ได้

จากนั้นแสดงว่า $1 + xy > x + y$ และ $1 + xy > -(x+y)$ ก็จะจบได้เหมือนกัน

(จริงๆ ยกกำลังสองอาจจะสั้นกว่า เพราะทำให้เหลือแค่ $1 + x^2 y^2 > x^2 + y^2 $ แหะๆ)

[PURE MATH]

$$6. กำหนดให้ x^2553-ax+1 หารด้วย x^2-1 เหลือเศษ r(x) ถ้า r(2)=17
จงหาค่า a$$
$$7. ถ้า x ที่สอดคล้องกับสมการ |(|(|x|-2)|-k)|=5 มีทั้งหมด 5 ค่าแล้ว k มีค่าเท่าใด$$
$$8. กำหนด N=2^(n-1) (2^n-1) เมื่อ (2^n-1) เป็นจำนวนเฉพาะ
และกำหนดให้ 1< d_1< d_2< d_3<⋯< d_k=N
เป็นตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ N$$
$$9. จงหาผลเฉลยของ (a,b) ทั้งหมดที่ทำให้ (a,b)[a,b]=a+2b+13
เมื่อ (a,b) และ [a,b] แทน ห.ร.ม.และ ค.ร.น.ของ a และ b ตามลำดับ$$
$$10. จงหาเศษที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่เกิดจากการหาร a^4+b^4 ด้วย 8
เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มใดๆ$$
$$11. จงหาผลบวกของจำนวนจริง x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
|(2-|(2-?|2-x| )| )|=1 โดยที่มีเลข 2 ในสมการทั้งหมด 2012 ตัว$$
$$12. จงหาเซตคำตอบของอสมการ x^2553-x^2550+x^5-x^2+4>0$$
$$13. ถ้า a เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ \frac{116,690,151}{427,863,887} แล้ว 22a เท่ากับเท่าใด$$
$$14. จำนวนเต็ม a มีค่าเป็นเท่าใด จึงจะทำให้ x^13+x+90 หารด้วย x^2-x+a ลงตัว$$
$$15. ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริงที่มีสมบัติว่า (x+\sqrt{x^2+1} ))(y+\sqrt{y^2+1} )=1
แล้ว x+y มีค่าเท่ากับเท่าใด$$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

10.
$a\equiv 1 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 1 (mod 8)$
$a\equiv 2 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 0 (mod 8)$
$a\equiv 3 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 1 (mod 8)$
$a\equiv 4 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 0 (mod 8)$
$a\equiv 5\equiv -3 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 1 (mod 8)$
$a\equiv 6\equiv -2 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 0 (mod 8)$
$a\equiv 7\equiv -1 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 1 (mod 8)$
$a\equiv 8\equiv 0 (mod 8)$ $ \rightarrow$ $a^4\equiv 0 (mod 8)$
$\therefore $เศษ เป็นไปได้คือ 0,1

[Thgx0312555]

15. พิจารณา
$(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1$
นำไปแทนในสมการ จัดรูปจะได้
$\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y$
และ
$\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{y^2+1}+y$
นำทั้งสองสมการลบกัน
$x+y=0$