โจทย์ที่น่าสนใจครับ

[{([?])}]

1. จงหาค่อของ $n$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1234\leqslant n<5678$ และทำให้

$$\frac{9n^2+31n-931}{9n^2+45n-945}$$

เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
_________________________________________________________________________________________________________

2. จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$\left\lfloor2x\right\rfloor +\left\lfloor3x\right\rfloor =9x-\frac{7}{4}$$
_________________________________________________________________________________________________________

3. จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้มีชุดคำตอบ $(x_1,x_2,x_3,...x_{2012})$ ซึ่งเป็น

จำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x_1<x_2<x_3<...<x_{2012}$ และ

$$\frac{1}{x_1} +\frac{2}{x_2} +\frac{3}{x_3} +...+\frac{2012}{x_{2012}} =n$$
_________________________________________________________________________________________________________

4.กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนจริงและ

$$P(x,y)=\sqrt{9x^2+4} +\sqrt{9x^2-12xy+4y^2+1} +\sqrt{4y^2-16y+20}$$

จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $P(x,y)$ เกิดค่าต่ำสุด

_________________________________________________________________________________________________________

5. กำหนด $a,b$ เป็นจำนวนนับที่เเตกต่างกันซึ่งทำให้

$$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$$

เป็นจำนวนเต็มทั้ง $3$ จำนวน จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|a-b|$

_________________________________________________________________________________________________________

6. กำหนดให้

$N=2^{2^{2557}-2}+2\cdot2^{2^{2557}-3}+3\cdot2^{2^{2557}-4}+...+(2^{2556}-1)(2^{2^{2556}})+2^{2556}(2^{2^{2556}-1})+(2^{2556}-1)(2^{2^{2556}-2})+...+3\cdot 2^2+2\cdot 2+1$

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $N-n$ มี $2555$ เป็นตัวประกอบ

_________________________________________________________________________________________________________

7. จงหาค่าของจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ

$\sqrt{7x^2-22x+28} +\sqrt{7x^2+8x+13} +\sqrt{31x^2+14x+4} =5x+10$

_________________________________________________________________________________________________________

8. กำหนดให้ $0\leqslant x\leqslant 1$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$x(9\sqrt{1+x^2} +13\sqrt{1-x^2})$$

_________________________________________________________________________________________________________

9. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง และเป็นรากของสมการกำลังสาม $x^3-5x^2+5x+1=0$ จงหาค่าของ

$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$$

_________________________________________________________________________________________________________

10. นิยามค่าเฉลี่ย"งง" ของลำดับ $x_1,x_2,x_3,...,x_m$ คือ

$$\frac{x_1+2x_2+3x_3+...+mx_m}{m(m+1)} $$

ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ เขียนลำดีบ $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ บนกระดาน ในการดำเนินเเต่ละครั้ง ให้เขียนค่าเฉลี่ย"งง"ของลำดับที่ปรากฏอยู่ต่อท้ายลำดับนั้น แล้วลบตัวเเรกของลำดับนั้นทิ้ง ถ้าดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยๆ พบว่า เลขบนลำดับลู่เข้าสู้ค่าๆหนึ่ง จงหาค่าๆนั้น

[nooonuii]

แน่ใจเหรอครับว่าเป็นโจทย์ระดับม.ต้น

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แน่ใจเหรอครับว่าเป็นโจทย์ระดับม.ต้น

ใช่ครับอาจารย์ โจดของ TUGMOS ปีล่าสุด

[{([?])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แน่ใจเหรอครับว่าเป็นโจทย์ระดับม.ต้น

ใช่ครับ

[Euler-Fermat]

9. $a,b,c$ เป็นรากของ $x^3-5x^2+5x+1 = 0$

$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$

จาก ความสัมพันธ์รากและสัมประสิทธิ์ได้ ว่า

$a+b+c = 5$

$ab+bc+ca = 5$

$abc = -1$

$a^2+ab+b^2 = (a+b)^2-ab = (5-c)^2+\dfrac{1}{c} = \dfrac{c^3-10c^2+25c+1}{c}$

ในทำนองเดียวกัน ได้ $b^2+bc+c^2 = \dfrac{a^3-10a^2+25a+1}{a}$

$c^2+ca+a^2 = \dfrac{b^3-10b^2+25b+1}{b}$

จาก $a,b,c$ เป็นรากของ $x^3-5x^2+5x+1 = 0 $

ได้ $P(a) = P(b) = P(c) = 0 $

$\therefore \prod_{cyc}a^2+ab+b^2 = \prod_{cyc} \dfrac{-5c^2+20c}{c} $

$\prod_{cyc} -5(c-4) = -125(a-4)(b-4)(c-4) = -125[abc-4(ab+bc+ca)+16(a+b+c)-64]$

แทนค่าเข้าไปจากความสัมพันธ์ข้างต้น ได้

$-125[abc-4(ab+bc+ca)+16(a+b+c)-64] = -125[-5] = 625$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

10. นิยามค่าเฉลี่ย"งง" ของลำดับ x1 , x2 , x3 , .... , xm คือ
งง = [ x1 + (2*x2) + (3*x3) + .... + (m*xm) ] / [m*(m+1)]
ให้ n เป็นจำนวนนับ เขียนลำดีบ a1 , a2 , a3 , .... , an บนกระดาน ในการดำเนินเเต่ละครั้ง ให้เขียนค่าเฉลี่ย"งง"ของลำดับที่ปรากฏอยู่ต่อท้ายลำดับนั้น แล้วลบตัวเเรกของลำดับนั้นทิ้ง ถ้าดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยๆ พบว่า เลขบนลำดับลู่เข้าสู้ค่าๆหนึ่ง จงหาค่าๆนั้น

ตอบ เลขบนลำดับลู่เข้า 0

ทำไมถึง ลู่เข้า 0 อ่ะครับ

[กิตติ]

ข้อ ๙ ผมทำตอนแรกต่างจากคุณEuler แต่ตอนท้ายลงเหมือนกัน
สิ่งที่โจทย์ถามคือ $\left(\,\frac{a^3-b^3}{a-b}\right) \left(\,\frac{b^3-c^3}{b-c}\right) \left(\,\frac{c^3-a^3}{c-a} \right) $
$a^3-5a^2+5a+1=0$
$b^3-5b^2+5b+1=0$
$c^3-5c^2+5c+1=0$

$a^3-b^3=5(a-b)(a+b-1)\rightarrow \frac{a^3-b^3}{a-b}=5(a+b-1)=5(4-c)$

$\frac{b^3-c^3}{b-c}=5(b+c-1)=5(4-a)$

$\frac{c^3-a^3}{c-a}=5(a+c-1)=5(4-b)$

ต่อจากตรงนี้ทำเหมือนที่คุณEulerทำ
ตอบ $5^4$

[artty60]

ข้อ10. ไม่เข้าใจข้อความนี้ครับ "ในการดำเนินเเต่ละครั้ง ให้เขียนค่าเฉลี่ย"งง"ของลำดับที่ปรากฏอยู่ต่อท้ายลำดับนั้น แล้วลบตัวเเรกของลำดับนั้นทิ้ง"

จขกท.หรือท่านใดที่เข้าใจช่วยเขียนตัวอย่างให้ดูหน่อยครับ

รูปทั่วไปของ series ใหม่ใช่แบบนี้รึเปล่า $a_n=(\frac{\sum_{n = 1}^{n}na_n}{(n-1)!})-a_1=\frac{n}{(n-1)!}a_n-(n+1)na_1$ งงงง?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

9. $a,b,c$ เป็นรากของ $x^3-5x^2+5x+1 = 0$

$\prod_{cyc} -5(c-4) = -125(a-4)(b-4)(c-4)=125(4-a)(4-b)(4-c)$

ตรงนี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยการแทน $x=4$ ลงไปในพหุนามครับ

ตอนแรกว่าจะแซวเล่นๆ ว่าเป็นโจทย์ม.ต้นทำไมยากขนาดนี้

ปรากฎว่าเป็นความจริงซะงั้น

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตรงนี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยการแทน $x=4$ ลงไปในพหุนามครับ

ตอนแรกว่าจะแซวเล่นๆ ว่าเป็นโจทย์ม.ต้นทำไมยากขนาดนี้

ปรากฎว่าเป็นความจริงซะงั้น

เอาอีกแล้ว ผมโดน spoil ต้องกระจาย อีกแล้ว 555

[TU Gifted Math#10]

เฉลยสามารถดูได้จากเพจ TUGMOS & TUGSELA 2012 นะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 4 ไม่แน่ใจว่าถูกมั้ยนะครับ

จากโจทย์จะได้ว่าเท่ากับ $$P(x,y)=\sqrt{(3x)^2+2^2}+\sqrt{(2y-3x)^2+1^2}+\sqrt{(4-2y)^2+2^2}$$

โดยจากอสมการสามเหลี่ยมจะได้ว่า $$P(x,y)\geqslant \sqrt{(3x+2y-3x+4-2y)^2+(2+1+2)^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$$

ซึ่งจะเกิดค่าต่ำสุดเมื่อ $\frac{3x}{2}=2y-3x=\frac{4-2y}{2}$ จะได้ว่ามี $(x,y)$ ที่สอดคล้องคือ $(x,y)=(\frac{8}{15},\frac{18}{15})$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 8 ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ จากโคชีจะได้ว่า

$$9x(\sqrt{1+x^2})+13x(\sqrt{1-x^2}) \leqslant \sqrt{81x^2+169x^2}\sqrt{1+x^2+1-x^2}=10\sqrt{5}x \leqslant 10\sqrt{5}$$ เพราะ $0\leqslant x \leqslant 1$

$\therefore$ ค่าสูงสุดคือ $10\sqrt{5}$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=1$

ผมว่ามันแหม่งๆยังไงชอบกลก็ไม่รู้ :/ ใครทำได้ช่วยชี้แนะด้วยครับ :Please:

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 8 ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ จากโคชีจะได้ว่า

$$9x(\sqrt{1+x^2})+13x(\sqrt{1-x^2}) \leqslant \sqrt{81x^2+169x^2}\sqrt{1+x^2+1-x^2}=10\sqrt{5}x \leqslant 10\sqrt{5}$$ เพราะ $0\leqslant x \leqslant 1$

$\therefore$ ค่าสูงสุดคือ $10\sqrt{5}$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=1$

ผมว่ามันแหม่งๆยังไงชอบกลก็ไม่รู้ :/ ใครทำได้ช่วยชี้แนะด้วยครับ :Please:

ได้เชคเงื่อนไขการเกิดสมการของอสมการโคชีหรือยังครับ
ถ้า $x=1$ จะได้ $9x(\sqrt{1+x^2})+13x(\sqrt{1-x^2})=9\sqrt{2}$ นะครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

เฉลยสามารถดูได้จากเพจ TUGMOS & TUGSELA 2012 นะครับ

ช่วยแปะ link มาไว้หน่อย จะขอบคุณมากครับ