ข้อสอบโควตา มช. เรื่องความน่าจะเป็น กับเวกเตอร์ ครับ

[MATHIX]

7. ในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์
เท่ากับ 0.32 และสอบผ่านวิชาภาษาอังกฤษเท่ากับ 0.47 ถ้าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชาเท่ากับ 0.66 จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา

10. ให้ เวกเตอร์ u, เวกเตอร์ v และ เวกเตอร์ w เป็นเวคเตอร์ใดๆในสามมิติซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ให้พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
1. $\bar u-\bar v$ ตั้งฉากกับ $\bar u\times 2\bar v$
คือรู้ว่า ตัวเลือกนี้ถูกจากการตะลุยทำ แต่อยากได้วิธีพิสูจน์ที่ไม่ต้องตะลุยทำครับ ไม่ทราบว่ามีหรือเปล่า

[AnNat001]

7.
ให้ P(A) แทน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์
P(B) แทน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านวิชาภาษาอังกฤษ
P(A intersection B) แทน ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชา
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา = P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A intersection B)=0.32+0.47-0.66=0.13

ปล. ผิดถูกยังไง รอผู้รู้อีกทีนะครับ

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MATHIX

7. ในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์
เท่ากับ 0.32 และสอบผ่านวิชาภาษาอังกฤษเท่ากับ 0.47 ถ้าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชาเท่ากับ 0.66 จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา

10. ให้ เวกเตอร์ u, เวกเตอร์ v และ เวกเตอร์ w เป็นเวคเตอร์ใดๆในสามมิติซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ให้พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
1. $\bar u-\bar v$ ตั้งฉากกับ $\bar u\times 2\bar v$
คือรู้ว่า ตัวเลือกนี้ถูกจากการตะลุยทำ แต่อยากได้วิธีพิสูจน์ที่ไม่ต้องตะลุยทำครับ ไม่ทราบว่ามีหรือเปล่า

7. ให้ A คือ เหตุการณ์ที่ นร. สอบผ่านวิชาคณิตฯ
และ B คือ เหตุการณ์ที่ นร. สอบผ่านวิชา Eng
ดังนั้น $(A\cup B)-(A\cap B)$ คือ เหตุการณ์ที่ นร. สอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชา (สอบผ่านแต่คณิตฯ หรือ Eng แต่ไม่ใช่ทั้งสองวิชา)
และ $A\cup B$ คือ เหตุการณ์ที่ นร. สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา
$\therefore P(A)=0.32 =a+b$
$P(B)=0.47 = b+c$
$P((A\cup B)-(A\cap B))=0.66=a+c$
จงหา $P(A\cup B) = a+b+c =?$

10. $\because \bar u, \bar v$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน 3 มิติ (มี 3 แกน คือ แกน X,Y,Z)
สมมติว่า $\bar u, \bar v$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ XY $\Rightarrow \bar u - \bar v$ ก็ยังคงเป็นเวกเตอร์ในระนาบ XY เหมือนเดิม
ส่วน $\bar u \times 2\bar v$ จะเป็นเวกเตอร์ใหม่ที่พุ่งขึ้นตั้งฉากกับระนาบ XY (ตามกฎมือขวา)
$\therefore$ $\bar u-\bar v$ $\bot$ $\bar u\times 2\bar v$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MATHIX

10. ให้ เวกเตอร์ u, เวกเตอร์ v และ เวกเตอร์ w เป็นเวคเตอร์ใดๆในสามมิติซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ให้พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
1. $\bar u-\bar v$ ตั้งฉากกับ $\bar u\times 2\bar v$
คือรู้ว่า ตัวเลือกนี้ถูกจากการตะลุยทำ แต่อยากได้วิธีพิสูจน์ที่ไม่ต้องตะลุยทำครับ ไม่ทราบว่ามีหรือเปล่า

ข้อนี้ใช้สมบัติของ cross product ครับ

$u \perp (u\times v)$ และ $v \perp (u\times v)$

จากนั้นก็พิจารณา dot product

$(u-v)\cdot (u\times 2v)=2u\cdot (u\times v)-2v\cdot (u\times v) = 0$

นั่นคือสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน

ป.ล. โจทย์ไม่ได้บอกนะว่า $u,v$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ $XY$

ถ้าเป็นข้อสอบระดับสูงอย่างเช่น TMO เราจะเขียนเกณฑ์การให้คะแนนไว้เลยว่า

การพิสูจน์กรณีเฉพาะหรือโดยการยกตัวอย่าง ไม่ให้คะแนน แต่เผอิญข้อนี้เป็นตัวเลือกนี่เนอะ

[MATHIX]

ขอบคุณครับ

[Amankris]

$u-v$ เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกับ $u,v$

$u\times 2v$ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ $u,v$

มองแบบนี้ก็ได้ครับ