ผลบวกและผลคูณ

[pont494]

รบกวนช่วยเฉลยด้วยครับ ถ้าแสดงวิธีทำด้วยก็จะเป็นพระคุณอย่างยิ่งครับ

1.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงคำนวณค่าในเทอมของ n ของ
$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})...(4-\frac{2}{n}) $

2.จงหาสูตรสำหรับผลบวกต่อไปนี้
2.1) $2+4+10+28+...(n พจน์)$
2.2) $r+2r^2+3r^3+...+nr^n$
2.3) $1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)$
2.4) $\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$

3.ก และ ข ออกเดินทางจากที่เดียวกันพร้อมกัน ก เริ่มเดินทางด้วยความเร็ว 2 กม./ชม. ในชม.ถัดไปเดินทางด้วยความเร็ว 4,8,16,... กม./ชม.ตามลำดับ ส่วน ข เริ่มเดินทางด้วยความเร็ว 40 กม./ชม. ในชม.ถัดไปเดินทางด้วยความเร็ว 20,10,5,... กม./ชม.ตามลำดับ จงหาว่า ก และ ข จะเดินทางไปทันกันภายหลังจากได้เดินทางกี่กิโลเมตร

[FranceZii Siriseth]

2.2
$L=r+2r^2+3r^3+...+nr^n$
$rL=0+r^2+2r^3+3r^4+...+(n-1)r^n+nr^{n+1}$
$L-rL=r+r^2+...+r^n-nr^{n+1}$
$L(1-r)=\frac{r(r^n-1)}{r-1}-nr^{n+1}$

2.3 กระจาย $n(n+1)(n+2)$ take sigma ทีละตัว

2.4
$\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\bigg(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\bigg)$
$=\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\bigg(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\bigg)$
$= \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

รบกวนช่วยเฉลยด้วยครับ ถ้าแสดงวิธีทำด้วยก็จะเป็นพระคุณอย่างยิ่งครับ

1.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงคำนวณค่าในเทอมของ n ของ
$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})...(4-\frac{2}{n}) $

2.จงหาสูตรสำหรับผลบวกต่อไปนี้
2.1) $2+4+10+28+...(n พจน์)$
2.2) $r+2r^2+3r^3+...+nr^n$
2.3) $1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)$
2.4) $\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$

3.ก และ ข ออกเดินทางจากที่เดียวกันพร้อมกัน ก เริ่มเดินทางด้วยความเร็ว 2 กม./ชม. ในชม.ถัดไปเดินทางด้วยความเร็ว 4,8,16,... กม./ชม.ตามลำดับ ส่วน ข เริ่มเดินทางด้วยความเร็ว 40 กม./ชม. ในชม.ถัดไปเดินทางด้วยความเร็ว 20,10,5,... กม./ชม.ตามลำดับ จงหาว่า ก และ ข จะเดินทางไปทันกันภายหลังจากได้เดินทางกี่กิโลเมตร

โจทย์พวกลำดับและอนุกรม โดยทั่วไป ควรจะบอกพจน์ที่ n มาให้เลย จะได้คิดตรงกัน

ไม่งั้นจะมีคำตอบได้หลายแบบนับไม่ถ้วน ในที่นี้จะสมมติว่าคิดภายใต้เนื้อหาทั่ว ๆ ไปของ ม.ปลายครับ.

อย่างข้อ 2.1 ถ้าเรานำพจน์ที่ติดลบมาลบกัน แล้วได้ลำดับเรขาคณิตปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรก แสดงว่า รูปแบบหนึ่งที่เป็นไปได้คือ เกิดจาก ลำดับเรขาคณิต + ลำดับคงตัว

ในที่นี้ 2, 4, 10, 28 ถ้านำพจน์ที่ติดกันมาลบกัน จะได้ 2, 6, 18 ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ครั้งแรก แสดงว่ารูปแบบหนึ่งคือ $a_n = a\cdot 3^n + b$ แทนค่าแล้วแก้สมการจะได้ $a_n = 3^{n-1} + 1$ ที่เหลือก็ใช้สูตรปกติ

ข้อ 2.3 อันนี้เข้ารูปแบบงดงามครับ อาจจะใช้คอมบิแก้ก็ได้ ถ้าชอบคอมบิ ลองสังเกตดูว่า

$\Sigma_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\Sigma_{i=1}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

ดังนั้น
$\Sigma_{i=1}^n i(i+1)(i+2) = ?$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

1.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงคำนวณค่าในเทอมของ n ของ
$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})...(4-\frac{2}{n}) $

อยากให้ลองคิดเองครับ แต่จะแนะบางส่วนให้

$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})...(4-\frac{2}{n}) =\dfrac{(4\cdot 1 - 2)(4\cdot 2-2)\cdots (4n-2)}{1\cdot 2\cdots n} $

$=\dfrac{2^n[1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)]}{n!}$

$=\cdots$

$=\binom{2n}{n}$