ข้อสอบจาก MWITS

[~ArT_Ty~]

เอามาให้ลองทำดูครับ เป็นข้อสอบคัดเพชรยอดมงกุฎของมหิดลวิทยานุสรณ์ครับ

1 หาเซตคำตอบของสมการ $$\cos^2x+cos^2 2x +cos^2 3x=1$$

2 ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $$(a\cos x+b)(b\cos x+a)=(a\sin x+b)(b\sin x+a)$$
และ $B=\left\{\ \frac{\pi}{4}+k,k\in\mathbb{Z},\right\} $ จงเขียนเซต $A-B$ แบบแจกแจงสมาชิก

3 $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|4iz^{-1}+\bar z |=6\sqrt{2}$ จงหา $|z|$

4 หาผลคูณรากทั้งหมดของสมการ $$6^x+6=2^{x+1}+3^{x+1}$$

5 ให้ $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ มีโดเมนคือ $\mathbb{R}-\left\{\,-1,1\right\} $ จงหา $(f-f^{-1}+\frac{1}{f}-\frac{1}{f^{-1}})(x)$

6 ให้เมตริก $A\not= B$ โดยที่ $A^3=B^3$ และ $A^2B=B^2A$ หา $\det(A+B)$

7 หาผลบวกของตัวประกอบที่เป็นจำนวนคู่บวกทั้งหมดของ $10^4$

8 ให้ $a_{1},a_{2},...$ เป็นลำดับเลขคณิต $b_{1},b_{2},...$ เป็นลำดับเรขาคณิต โดยที่ $b_{n}=a_{n}-2$ และ $a_{1}\not=0$ จงหา $\frac{b_{30}-5a_{10}+b_{11}}{a_{5}}$

ถ้าจำได้อีกจะมาเพิ่มนะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

เอามาให้ลองทำดูครับ เป็นข้อสอบคัดเพชรยอดมงกุฎของมหิดลวิทยานุสรณ์ครับ

4 หาผลคูณรากทั้งหมดของสมการ $$6^x+6=2^{x+1}+3^{x+1}$$

ให้ $a=2^x$ ,$b=3^x$

$ab+6=2a+3b$

$(a-3)(b-2)=0$

$x=\log_23, \log_32$

แบบนี้หรือเปล่าครับ ไปต่อไม่เป็นแล้ว

ปล. ข้อ 1 http://www.mathcenter.net/forum/show...t=14063&page=8 ความเห็น 114

[Amankris]

#2
ไปไม่เป็นเลยหรือ แค่นำมาคูณกันเอง

#1
ข้อ 8 โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ

[Real Matrik]

#3 หมายถึง $b_n-b_{n-1}$ เป็นค่าคงที่หรือเปล่าครับ

[Amankris]

#4
ผมไม่ทราบหรอกครับว่าผิดตรงไหนแน่ จขกท.อาจจำมาไม่ครบก็ได้

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

2 ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $$(a\cos x+b)(b\cos x+a)=(a\sin x+b)(b\sin x+a)$$
และ $B=\left\{\ \frac{\pi}{4}+k,k\in\mathbb{Z},\right\} $ จงเขียนเซต $A-B$ แบบแจกแจงสมาชิก

$(a\cos x+b)(b\cos x+a)=(a\sin x+b)(b\sin x+a)$

$ab(\cos^2 x-\sin^2 x)+(a^2+b^2)(\cos x-\sin x)=0$

$(\cos x-\sin x)\left(\,ab(\cos x+\sin x)+a^2+b^2\right)=0$

ผมทำได้แค่กรณี $\cos x=\sin x$

$\cos^2 x=\sin^2 x $

$2\cos^2 x-1=0$

$\cos x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{m\pi}{2}, \ \ \forall m\in \mathbf{N} $ <<<< ผิดนะครับ

จากโจทย์ถามมาผมทำไม่ได้แล้วครับ ฮ่าๆ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$(a\cos x+b)(b\cos x+a)=(a\sin x+b)(b\sin x+a)$

$ab(\cos^2 x-\sin^2 x)+(a^2+b^2)(\cos x-\sin x)=0$

$(\cos x-\sin x)\left(\,ab(\cos x+\sin x)+a^2+b^2\right)=0$

ผมทำได้แค่กรณี $\cos x=\sin x$

$\cos^2 x=\sin^2 x $

$2\cos^2 x-1=0$

$\cos x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{m\pi}{2}, \ \ \forall m\in \mathbf{N} $

จากโจทย์ถามมาผมทำไม่ได้แล้วครับ ฮ่าๆ

อย่างแรกตอนได้ $\cos x = \sin x$ แล้วไปยกกำลังสองเป็น $\cos^2x = \sin^2x$
ทำแบบนี้แล้วมีปัญหานะครับ เพราะจะเป็นการสร้างคำตอบเกินมาโดยไม่จำเป็น เช่น ถ้า $m = 1$ ก็จะไม่จริง

จากสมการ $\cos \theta = \sin \theta$ แล้วแสดงว่า $\theta$ จะเป็นจุดปลายของส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่บนเส้นตรง y = x ซึ่งจะมีอยู่ในจตุภาคที่ 1, 3 แล้ว $\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$

ส่วนวงเล็บหลัง จะได้ $\sin x + \cos x = -\frac{a^2+b^2}{ab}$

ลองพิจารณาค่าสูงสุดต่ำสุด ของนิพจน์ทางด้านซ้ายมือกับขวามือของสมการ ดูสิครับ.

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

อย่างแรกตอนได้ $\cos x = \sin x$ แล้วไปยกกำลังสองเป็น $\cos^2x = \sin^2x$
ทำแบบนี้แล้วมีปัญหานะครับ เพราะจะเป็นการสร้างคำตอบเกินมาโดยไม่จำเป็น เช่น ถ้า $m = 1$ ก็จะไม่จริง

จากสมการ $\cos \theta = \sin \theta$ แล้วแสดงว่า $\theta$ จะเป็นจุดปลายของส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่บนเส้นตรง y = x ซึ่งจะมีอยู่ในจตุภาคที่ 1, 3 แล้ว $\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$

ส่วนวงเล็บหลัง จะได้ $\sin x + \cos x = -\frac{a^2+b^2}{ab}$

ลองพิจารณาค่าสูงสุดต่ำสุด ของนิพจน์ทางด้านซ้ายมือกับขวามือของสมการ ดูสิครับ.

ขอบคุณมากๆครับ ผมลองไปอ่านการหาค่าสูงสุด ต่ำสุดมาได้

$\sqrt{2} \ge \sin x+\cos x \ge -\sqrt{2}$ หรือเปล่าครับ

[gon]

ถูกต้องครับ

เหลือแต่ค่าทางขวา

$x+\frac{1}{x} \ge ?$ เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก

$x+\frac{1}{x} \le ?$ เมื่อ x เป็นจำนวนจริงลบ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

7 หาผลบวกของตัวประกอบที่เป็นจำนวนคู่บวกทั้งหมดของ $10^4$

ข้อนี้ลองแยกสองออกมาก่อนเป็น $2 \cdot 5000$ เท่ากับว่าสิ่งที่โจทย์ต้องการคือ ผลรวมตัวหารบวก 5000 ทั้งหมด คูณสอง

จาก $5000=2^3 \cdot 5^4$ ได้ผลรวมตัวหารบวกเป็น $(1+2+4+8)(1+5+25+125+625)=11715$

สิ่งที่โจทย์ถามก็จะเป็น $2 \cdot 11715 = 23430$

หรือจะมองว่าเอาผลรวมตัวหารบวกทั้งหมด ลบผลรวมตัวหารบวกของ $5^4$ ก็ได้ ซึ่งเท่ากันแต่ติดเลขเยอะอีกหน่อย