Problems Collection (First Series)

[Keehlzver]

ขอบคุณอีกครั้งครับ

ผมมีคำถามที่คาใจมานานเเล้วล่ะครับ เรื่องของการหาคำตอบใดๆในเเนวโจทย์คณิตศาสตร์ ซึ่งคาใจส่วนมากคือโจทย์ FE ผมไม่เข้าใจว่า "เพราะเหตุใดการเปลี่ยนตัวเเปรเเบบ 1-1 ให้ฟังก์ชันคำตอบที่ครบถ้วน" หรืออย่างกรณีของโจทย์ที่ต้องใช้อสมการโคชีเข้าช่วยในการเเก้สมการข้อ 37 หรืออย่างข้อ 31 ด้วย เรารู้ได้อย่างไรว่า "ผลที่เราหาออกมาได้ มีคำตอบเดียวจริงๆ"

ล่าสุดนี้ผมฝึกโจย์ IMO ข้อ 3 ปีล่าสุดไป ได้ผลมาว่า $g(x)=x+c$ เป็นคำตอบ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัวใดๆที่ทำให้ $g(x)$ เป็นจำนวนนับ เเต่ผมก็เจอปัญหาคือ ผมไม่รู้ว่าเมื่อไรที่ต้องพิสูจน์ว่ามีคำตอบเดียว เเละถ้าจะพิสูจน์ผมควรจะทำอย่างไร

ขอบคุณล้วงหน้าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมมีคำถามที่คาใจมานานเเล้วล่ะครับ เรื่องของการหาคำตอบใดๆในเเนวโจทย์คณิตศาสตร์ ซึ่งคาใจส่วนมากคือโจทย์ FE ผมไม่เข้าใจว่า "เพราะเหตุใดการเปลี่ยนตัวเเปรเเบบ 1-1 ให้ฟังก์ชันคำตอบที่ครบถ้วน" หรืออย่างกรณีของโจทย์ที่ต้องใช้อสมการโคชีเข้าช่วยในการเเก้สมการข้อ 37 หรืออย่างข้อ 31 ด้วย เรารู้ได้อย่างไรว่า "ผลที่เราหาออกมาได้ มีคำตอบเดียวจริงๆ"

ล่าสุดนี้ผมฝึกโจย์ IMO ข้อ 3 ปีล่าสุดไป ได้ผลมาว่า $g(x)=x+c$ เป็นคำตอบ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัวใดๆที่ทำให้ $g(x)$ เป็นจำนวนนับ เเต่ผมก็เจอปัญหาคือ ผมไม่รู้ว่าเมื่อไรที่ต้องพิสูจน์ว่ามีคำตอบเดียว เเละถ้าจะพิสูจน์ผมควรจะทำอย่างไร

ปกติเวลาทำโจทย์ FE เราไม่ได้มุ่งเป้าว่าต้องได้คำตอบเดียวนะครับ เราพยายามจะ extract ข้อมูลของฟังก์ชันนั้นออกมาให้มากที่สุด เพื่อสรุปว่า มันควรจะเป็นฟังก์ชันอะไร ข้อมูลตรงนั้นจะเป็นตัวบอกเองว่า มีกี่คำตอบ อะไรบ้าง

การแทนค่า x= 0,1 หรือ y=-x ,x หรือการ show 1-1 ,onto ,Cauchy เป็น วิธีหลากหลายให้เลือกใช้ เพื่อหา general form ของฟังก์ชันในแบบที่เข้าใจง่ายที่สุด ก่อนจะสรุปครับ

[หยินหยาง]

รบกวนคุณ passer-by ช่วยดูและแนะนำให้ด้วยครับ
ใน appendix หน้า 15 ครับ

[passer-by]

ก่อนอื่น ต้องขอบคุณที่ถามมาครับ

ผมอธิบายอย่างนี้แล้วกัน Law of quadratic reciprocity ที่ผมเขียนไว้ใน appendix หน้า 12 สังเกตให้ดีว่าตรงเลขชี้กำลังของ -1 มันเป็น 2 เทอมคูณกันครับ ไม่ใช่บวกกันหรือลบกัน

ถ้า p,q เป็น odd prime numbers แล้ว $ (\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = (-1)^{ \frac{p-1}{2}\times \frac{q-1}{2}} $

ดังนั้น จาก $ (\frac{3}{p})(\frac{p}{3}) = (-1)^{ \frac{p-1}{2}\times \frac{3-1}{2}} = (-1)^{ \frac{p-1}{2}} $ ประกอบกับ $(\frac{p}{3}) = -1 $ แล้วก็หารกันธรรมดา ได้บรรทัดต่อมา

เป็นไปได้ว่าคุณหยินหยางอาจจะเห็น เครื่องหมายจุด(ซึ่งก็คือคูณ) ตรงที่ถามมาในบรรทัด quadratic reciprocity เป็นเครื่องหมายอื่น

ถ้าผมเข้าใจประเด็นคำถามผิด ก็ลองชี้แจงมาอีกครั้งได้ครับ

[หยินหยาง]

เข้าใจไม่ผิดครับผมเห็นเป็นเครื่องหมายบวกอย่างที่คุณ passer-by ว่าเลยครับ ขอบคุณมากๆครับ อาจจะขอรบกวนอีกนะครับ เพิ่งมีเวลามาดูครับ ยากได้ใจดีครับ ทั้งท้าทายทั้งมันส์

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

อาจจะขอรบกวนอีกนะครับ เพิ่งมีเวลามาดูครับ

อย่าเรียกว่ารบกวนเลยครับ ถือซะว่า ปุจฉา-วิสัชนา แล้วกัน

เรื่องที่ผมแนบท้ายในภาคผนวก เป็นเรื่องที่เริ่มใช้บ่อยขึ้นในโจทย์ number theory ( primitive root modulo p อาจจะใช้บ่อยกว่า quadratic residue นิดหน่อย)

ในเรื่อง quadratic residue จริงๆแล้ว พื้นฐานก็เริ่มต้นจาก Fermat's little theorem นี่แหละครับ แต่ไปอาศัยสัญลักษณ์แบบ Legendre , Jacobi ให้ใช้งานง่ายขึ้น

ถ้าไม่นับ 2 เรื่องนี้ ช่วงหลังๆ ทฤษฎีจำนวน ก็จะมีโจทย์ที่ใช้ Mobius inversion formula มากขึ้น ซึ่งพื้นฐานเรื่องนี้ทีดีที่สุด ก็หาอ่านได้จากหนังสือ ทฤษฎีจำนวนของ สอวน. ท้ายบทที 5 นั่นเอง เพียงแต่โจทย์แบบเป็นจริงเป็นจัง อาจต้องมาควานหาจากข้างนอก

ถ้าใครมีพื้นฐานเรื่อง mobius inversion ดี นอกจากเอื้อใน Number theory แล้วยังไปเอื้อกับ combinatorics ในแง่การเรียงของเป็นวงกลมแบบมีของซ้ำ อีกด้วย

[กิตติ]

เนื่องจากเอกสารที่คุณpasser-by แจกเป็นไฟล์รวม ตัวลิ้งค์มันหมดอายุ มีสมาชิกส่งpmมาขอ
ผมขออนุญาตอัพขึ้นใหม่ให้ที่mediafireแล้วกันครับ
All-in-one

[catengland]

ขอบคุณครับ xD

[Bonegun]

ขอบคุณมากๆครับ

[กิตติ]

ในส่วนของคำตอบเดี๋ยวผมอัพทั้ง 8 partให้ครับ รอโหลดในโพสนี้แล้วกันครับ ไฟล์มันใหญ่สัก 40 MB
....................................Solution Part 1-8.................................................
ส่วนAppendix...นั้นของSensspaceนั้นDeadlink เหลือแต่ที่Zidofile

[kongp]

สมัยเด็กๆ ผมถูกสอนให้แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ โดยไม่อ้างถึงทฤษฏีหรือกฏใดๆ ซึ่งเป็นแนวทางหนึ่งที่จะสร้างองค์ความรู้ของไทยเราเอง และ ขอเพิ่มความเห็นว่าวิธีแก้โจทย์มีได้มากกว่าหนึ่งวิธีต่อข้อ หากเป็นไปได้ก็โพสต์เฉลยข้อเก่าในแนวคิดใหม่จะเป็นสิ่งที่ดี และ สนุก

[kongp]

ขอลิงค์ดาวน์โหลดใหม่ ด้วยครับ หลุดหมดแล้ว ตั้งแต่ข้อ 1 เลย

[มารบูรพา]

ขอบคุณมากครับ
จะพยายามทำโจทย์เหล่านี้ให้ได้ ( ถึงจะไม่ได้ทุกข้อก็ตาม )

[passer-by]

update ส่งท้ายปีให้ครับ จะเป็นโจทย์สไตล์วิธีทำสั้นๆ ไม่อึด ไม่ถึก แต่มีแนวคิดที่น่าสนใจ

Tricky questions (Part A)

1. แก้สมการ $4+4x-x^2 = |x-1| +|x-2|+|2x-3| +|4x-14|$

2. แก้สมการ $\sqrt{4x-1} +\sqrt{8x^3-1} = 1$

3. ถ้า $ 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) + 2^2\sin(x+\frac{2\pi}{3})+...+ 2^{2010}\sin(x+\frac{2010\pi}{3}) =0 $ หาค่า $\tan x$

4. a,b,c > 0 และ a+b+c=3 พิสูจน์ $ \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+5 \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

5. หาค่า $$ \int_{1/3}^{1/2} \frac{arctan 2x - arccot 3x}{x} \,\, dx $$

6. สามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และ ABD ซ้อนกัน ต่างก็ยาวด้านละ 10 หน่วย ถ้า E เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC โดย EA=8, EB=3 และ F เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABD โดย FD=8,FB=3 หาพื้นที่สี่เหลี่ยม AEFD

7. $f(x)= -x^2+10x-20$ หาผลรวมคำตอบสมการ $ f(f(f(....f(x))....) =2 $ โดยมี f ทั้งหมด 2010 ครั้ง

8. a,b,c เป็นจำนวนจริงต่างกัน หาจำนวนจริง k ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $\frac{(x+a)^2}{(a-b)(a-c)} +\frac{(x+b)^2}{(b-a)(b-c)} +\frac{(x+c)^2}{(c-a)(c-b)} = k $ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

9. หาจำนวนนับ n ที่ทำให้ $ \frac{(\frac{100}{3})^n}{n!} $ มีค่ามากสุด

10. แก้สมการ $ \left\lfloor x^2-3x+2 \right\rfloor = 3x-7 $

11. ถ้าเขียน $7^{2009}$ เป็นเลขฐาน 2 จงหา 3 หลักสุดท้าย

ANS(ONLY)

1. x=2
2. x= 1/2
3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$
5. 0
6. $\frac{91\sqrt{3}}{4}$
7. $ (10)(2^{2009}) $
8. 1
9. 33
10. $ \frac{7}{3} , \frac{8}{3} ,3, \frac{10}{3} , \frac{11}{3}$
11. 111

Tricky questions (Part B)

Part นี้เอาไว้เป็นแบบฝึกหัดให้คนที่เริ่มหัดใช้ pole, polar ,harmonic และทฤษฎี advance บางอย่างที่ผมเขียนไว้ใน First series หัวข้อ 4 ของดีในเรขาคณิต

12. สามเหลี่ยม ABC มี M,N,P เป็นจุดกึ่งกลาง BC,CA,AM ถ้า AC ตัด BP ที E และ AR ตั้งฉากกับ MN พิสูจน์มุม ERN เท่ากับมุม CRN

13. cyclic ABCD มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่ E ให้ K เป็นจุดที่ KA ตั้งฉากกับ AB และ KD ตั้งฉากกับ DC พิสูจน์ K,E,O อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

14. สามเหลี่ยม ABC มี BC < AC และ M เป็นจุดกึ่งกลาง PB ถ้า BQ, AP เป็นส่วนสูง และ QP ตัด AB ที่ T พิสูจน์ TH ตั้งฉากกับ CM

15. มีวงกลมสัมผัส AB,AC ที่ P,Q และสัมผัส (ABC) ที่ D พิสูจน์ DI แบ่งครึ่ง BDC
-------------------------------------------------------------------------

p.s. ที่ผมมา update โจทย์นี้ไม่เกี่ยวกับ gifts ที่ผมแจกอีกกระทู้นะครับ

[กิตติ]

เพิ่งเห็นโจทย์ชุดล่าสุด....ขอบคุณมากครับคุณpasser-by
ดูท่าผมได้แต่คูครับ เกินเลฟเวลที่ผมอยู่ครับ