ข้อสอบ FINAL วันนี้ สดๆ ร้อนๆ ครับ

[Chronon]

วิชา Principle of Mathematics อ. คนเดิมคนนี้ออกข้อสอบแถมมาให้ 2 ข้อครับ
บอกว่าถ้ายังไม่เสร็จข้ออื่นอย่าเพิ่งไปทำ มันเสียเวลาเปล่าๆ แหละนะ

1. Let $A$ be an infinite set. Show that there exist $B \subset A$ such that $A \approx B$

2. Let $(x_n)$ be a sequence such that $(x_n)$ is bounded and $x_n \leq x_{n+1}$ for all $n \in \mathbb{N}$.
Proof that $(x_n)$ converges and $\lim (x_n) = \sup \{x_n|n \in \mathbb{N}\}$

Challenge: Proof 1. without the aid of Schröder-Bernstein theorem.

ข้อสอบที่ว่านี่ใช้การจำออกมานะครับ (ไม่ต้องห่วง ไม่ผิดลิขสิทธิ์เหมือน O-Net หรอกครับ)
เพราะงั้นถ้าผิดพลาดประการใดก็ขออภัยด้วย

วานผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

1. Let $A'$ be a countably infinite subset of $A$. Then we can write $A'=\{a_1,a_2,...\}$.

Let $B=A-\{a_1\}$.

Define $f:B\to A$ by

$f(a_i)=a_{i-1}$ for all $i\geq 2$

$f(x)=x$ for $x\not\in A'$.

Show that $f$ is a bijection.

[nooonuii]

2. Let $a=\sup{\{x_n\}}$. Then $a$ exists by completeness axiom.

Let $\epsilon>0$ be given. It is easy to see that $x_n<a+\epsilon$ for all $n\geq 1$.

From the definition of the least upper bound, there is some $x_N$ such that $x_N>a-\epsilon$.

Then, for any $n\geq N$, we have

$a-\epsilon < x_N\leq x_n<a+\epsilon$.

Thus $|x_n-a|<\epsilon$ for all $n\geq N$.

This shows that $x_n\to a$.