ช่วยคิดหน่อยครับ: (p-1)!+1=p^k

[poon suankularb 130]

ช่วยทำให้หน่อยครับ คิดมานานแล้ว
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ (p-1)!+1=p^k สำหรับบางจำนวน kฮN จงพิสูจน์ว่า
p=2,3,5 เท่านั้น

Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ

[kartoon]

ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ (p-1)!+1=p^k สำหรับบางจำนวน kฮN จงพิสูจน์ว่า
p=2,3,5 เท่านั้น

บทพิสูจน์ (เขียนพอเป็นแนวทางพอนะครับ)

กำหนดให้ p = 2m+1

$ (2m)! = (2m + 1)^{ k } - 1 $

$ (2m)! = (2m)^{k}+ { k\choose k-1}(2m)^{k-1}+ ... + {k \choose k-2}(2m)^2 + 2mk $

$ (2m-1)! = (2m)^{k-1}+{k \choose 1}(2m)^{k-2}+ ... + {k \choose k-2}(2m) + k $

$ (2m-1)(2m-2)...(m+1)(m)(m-1)...(2)(1) = 2m(...) + k $

ถ้า m > 2 แล้ว 2m หาร k ลงตัว

เพราะฉะนั้น k ณ 2m

ให้ $ (2m)^{k-1} + {k \choose 1}(2m)^{k-2}+ ... +{k \choose k-2}(2m) + k = A $

A > $ (2m)^{2m-1} > (2m-1)! $

ดังนั้น p= 2,3,5 เท่านั้น

[warut]

เยี่ยมมากครับ ผมยังคิดข้อนี้ไม่ออกเลย รู้แต่ว่ามันเป็น special case ของ Erdős & Graham problem: $$(p-1)!+a^{p-1}=p^k$$ ทำให้ไม่ค่อยแน่ใจว่าข้อนี้มี elementary solution หรือเปล่า

[kartoon]

ขอบคุณครับ ผมเพิ่งเข้ามาตอบครั้งแรกครับ ถ้ามีไรแนะนำด้วยก็ดีครับ