FFTMO9

[BLACK-Dragon]

กำหนด c เป็นจำนวนตรรกยะ
จงแสดงว่า $x^3-3cx-3x+c$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างมากหน่ึงตัว

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

กำหนด c เป็นจำนวนตรรกยะ
จงแสดงว่า $x^3-3cx-3x+c$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างมากหน่ึงตัว

กำหนด c เป็นจำนวนตรรกยะ
จงแสดงว่า $x^3-3cx^2-3x+c$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างมากหน่ึงตั

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

Hint หน่อยครับ

มีวิธีสั้นๆแบบใช้ Inversion

แต่ผมอยากรู้วิธีแบบธรรมดาแบบที่ไม่ใช้ Advance Euclidean Geometry อ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

กำหนด $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ
จงแสดงว่า $x^3-3cx^2-3x+c$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างมากหนึ่งตัว

ไม่เเน่ใจนะครับ
สมมุติว่ามีรากตรรกยะ $3$ ราก ที่ชื่อ $x_1,x_2,x_3\in\mathbb{Q}$
ดังนั้น $x_1+x_2+x_3=3c,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3,x_1x_2x_3=-c$
กรณีที่ $c>0$ ได้ว่า มีสองตัวใดๆที่เป็นบวกเเละอีกหนึ่งตัวเป็นลบ เพียงกรณีเดียวที่สอดคล้องสมการข้างต้น
โดยไม่เสียนัยให้ $x_1,x_2>0>x_3$ ดังนั้นโดย Cauchy จึงได้ว่า $$\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{3}{c}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\ge \frac{4}{3c-x_3}+\frac{1}{x_3}=\frac{3x_3+3c}{x_3(3c-x_3)}$$ นั่นคือ $$\frac{x_3+c}{x_3(3c-x_3)}\le \frac{1}{c}\leftrightarrow (x_3-c)^2\le 0\therefore x_3=c$$
ซึ่งขัดเเย้ง เพราะ $0<c=x_3<0$
กรณีที่ $c<0$ สมมุติได้ว่า $x_1,x_2<0<x_3$ จาก $$\frac{3}{c}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}<\frac{1}{x_3}\rightarrow x_3<c/3$$ เเต่ $x_1+x_2+x_3=3c<x_3$ ดังนั้น $3c<x_3<c/3$ ขัดเเย้ง
เเละกรณีที่ มีรากตรรกยะ 2 รากก็เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น มี $x\in\mathbb{Q}$ ไม่เกิน(อย่างมาก) 1 ตัวที่สอดคล้อง

[จูกัดเหลียง]

มีมาเติมให้ครับ Let $a,b,c>0$
1.and $a+b+c=3$ Prove that $$a\sqrt{1+b^3}+b\sqrt{1+c^3}+c\sqrt{1+a^3}\le 5$$
2.Prove $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 9$$
3.and $a^2+b^2+c^2=3$ Prove $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge 3$$
ปล.ผมอยากได้โจทย์หลากหลายหน่อยครับ เช่น NT,FE,Comb,Geo,...

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

มีมาเติมให้ครับ Let $a,b,c>0$
1.and $a+b+c=3$ Prove that $$a\sqrt{1+b^3}+b\sqrt{1+c^3}+c\sqrt{1+a^3}\le 5$$
2.Prove $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 9$$
3.and $a^2+b^2+c^2=3$ Prove $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge 3$$
ปล.ผมอยากได้โจทย์หลากหลายหน่อยครับ เช่น NT,FE,Comb,Geo,...

ข้อ 1.

ข้อนี้ต้อง $a,b,c\geqslant 0$ รึเปล่าครับไม่งั้นมันจะไม่มีจุดที่เท่ากันอ่ะครับ
จากอสมการAM-GMจะได้ $\sqrt{1+x^3}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)} \leqslant \frac{(1+x)+(1-x+x^2)}{2}=\frac{2+x^2}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1+x^3}\leqslant\frac{2+x^2}{2}$
ดังนั้น$$\sum_{cyc} a\sqrt{1+b^3}\leqslant \sum_{cyc}a(\frac{2+b^2}{2} )=a+b+c+(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2} )=3+(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2} ) $$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4=\frac{4(a+b+c)^3}{27} $$
ซึ่งก็คืออสมการจาก Canada MO 1999 ดูได้จากhttp://www.artofproblemsolving.com/F...dea66af8f#p768
และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=1,b=2,c=0$และการสับเปลี่ยนทั้งหมด
ปล.ขี้เกียจมากก

ข้อ 2.

$$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 9\Leftrightarrow (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-8)-(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})\geqslant 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2}{abc}-\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2(\frac{1}{ab} -\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)} )\geqslant 0 $$
โดยSOS Theorem;$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2(\frac{2c(a^2+b^2+c^2)-abc}{abc} )\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2S_c\geqslant 0$$
จะได้ว่า$S_a=2a(a^2+b^2+c^2)-abc,S_b=2b(a^2+b^2+c^2)-abc,S_c=2c(a^2+b^2+c^2)-abc$
โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ $a\geqslant b\geqslant c>0$ จะได้ $S_a=2a(a^2+b^2+c^2)-abc\geqslant 2a(a^2+b^2+c^2)-a^3=a(a^2+2b^2+2c^2)\geqslant 0$
และ $S_b+S_c=2(b+c)(a^2+b^2+c^2)-2abc\geqslant 2(2\sqrt{bc})(a^2+2bc)-2a(bc)=4(\sqrt{bc})(a^2+2bc-\frac{a\sqrt{bc}}{2} )=4(\sqrt{bc})((2x-\frac{bc}{4})^2+\frac{31bc}{16} )\geqslant 0 $
ดังนั้น$$\sum_{cyc}(a-b)^2S_c=(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b+(a-b)^2S_c\geqslant(S_b+S_c)(c-a)^2\geqslant 0$$
และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=b=c$
ข้อนี้โคตรstrong

ข้อ 3.

$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{1}{2-a}-\frac{1}{2} ) \geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} (\frac{a}{2(2-a)} )\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} (\frac{a}{2-a} )\geqslant 3$$
โดยอสมการโคชี-ซวาร์ซ Engel form จะได้
$$\sum_{cyc} (\frac{a}{2-a} )=\sum_{cyc} (\frac{a^4}{2a^3-a^4} )\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}= \frac{9}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}$$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)\leqslant 3$
แต่จาก$a^2(a-1)^2\geqslant 0\Leftrightarrow 2a^3-a^4\leqslant a^2$
ดังนั้น$2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)=(2a^3-a^4)+(2b^3-b^4)+(2c^3-c^4)\leqslant a^2+b^2+c^2=3$
ทำให้เราได้อสมการที่ต้องการพิสูจน์ และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=b=c=1$

ผมว่าข้อเรขาของคุณ~ArT_Ty~นี่ไม่เบาเลยนะ ถ้าอัดตรีโกณนี่เน่ามากๆ แสดงวิธีที่ใช้ Inversion หน่อยสิครับ
ปล.เดี๋ยวผมมาตั้งโจทย์นะ

[~ArT_Ty~]

ไว้คิดได้จะเอามาลงนะครับ แต่ที่ใช้ Inversion นี่คือผมเห็นเฉลยมาอ่ะครับ

แต่ผมอยากทำแบบใช้ความรู้แค่ สอวน. อ่ะครับ

มีหนังสือมาแจกครับ จากคุณอากิตติ(ขอบคุณมากครับ : ) )

http://www.mediafire.com/?e8687h41aus1v7h

Excursions in Geometry

[AnDroMeDa]

1.จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป$\frac{x^2+x+1}{y} $เมื่อ$x,y\in \mathbb{N} $ อยู่เป็นจำนวนอนันต์

2.กำหนดให้$ABCD$เป็นสี่เหลี่ยมนูน เส้นแบ่งครึ่งมุม$ABC$ ตัดกับด้าน$CD$ ที่จุด$E$ ถ้า$\angle BCD=\angle CDA$จงพิสูจน์ว่า ถ้า$\angle AEB=90^{\circ} $แล้ว$AB=AD+BC$ และบทกลับจริงหรือไม่(นั่นคือถ้า$AB=AD+BC$ แล้ว$\angle AEB=90^{\circ} $)

3.ให้$f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องโดยสอดคล้องเงื่อนไข
(i) $f(2548)=2005$
(ii) $f(x)\bullet f(f(x))=1,\forall x\in \mathbb{R} $
จงหาค่าของ $f(\frac{2548}{2005} )$

4.ให้$ABC$เป็นสามเหลี่ยมโดยที่มุม $ABC$และมุม $BAC$เป็นมุมแหลม เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในและภายนอกของมุม$BAC$ ตัวกับเส้นตรง $BC$ ที่จุด $D$ และ $E$ ตามลำดับ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมสามเหลี่ยม $ADE$ ถ้า $P$ เป็นจุดบนวงกลม $O$ จงแสดงว่า $\frac{BP}{PC} =\frac{OB}{OA} $

5.มี $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ หรือไม่ที่สอคล้องคล้องกับ $f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),\forall n\in \mathbb{N},n\geqslant 2 $

6.ให้$a_1,a_2,...,a_{2n}$เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันที่ทำให้สมการ $(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})=(-1)^n(n!)^2$ มีรากเป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า $2n|(a_1+a_2+...+a_{2n})$

7.ให้จำนวนนับ8จำนวนที่มีค่าต่างกันและมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ15 จงแสดงว่ามีอย่างน้อย3คู่(ใน8จำนวนนี้)ที่ผลต่างที่เป็นบวกมีค่าเท่ากัน (โดยแต่ละคู่จะไม่ใช้ซ้ำ(disjoint set))

[polsk133]

7.มาก่อนหน่อยนึงละกันครับ
ผลต่างที่เป็นบวกมี14แบบ(1,2,...,14)
เลือกมา8จำนวนผลต่างที่เป็นได้มี8เลืก2=28แบบ
โดยรังนก จะได้ว่ามีอย่างน้อย1รังที่มีนก2ตัว. แต่รัง14มีได้แค่คู่เดียว(1,15)

ดังนั้นเมื่อพิจารณาใน13รังที่เหลือจะได้ว่ามีอย่างน้อย1รังที่มีนกอย่างน้อย3ตัว

แต่ยังคิดไม่ออกเรื่องใช้ไม่ซ้ำกัน

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 ขาไป ลองวาดเส้นขนานซักเส้นดูนะครับ และพยายามหาส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากัน 3 เส้นให้ได้ครับ

ขากลับ ทำคล้ายๆเดิมครับ แต่ว่าพยายามหามุมฉากอีกมุมก่อน แล้วมุมที่เราต้องการจะตามมาครับ
(วิธีผมนะ )

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

2.กำหนดให้$ABCD$เป็นสี่เหลี่ยมนูน เส้นแบ่งครึ่งมุม$ABC$ ตัดกับด้าน$CD$ ที่จุด$E$ ถ้า$\angle BCD=\angle CDA$จงพิสูจน์ว่า ถ้า$\angle AEB=90^{\circ} $แล้ว$AB=AD+BC$ และบทกลับจริงหรือไม่(นั่นคือถ้า$AB=AD+BC$ แล้ว$\angle AEB=90^{\circ} $)

ผมได้เเค่ขาไปอ่ะครับ
Pytagoras $AB^2=AE^2+BE^2$ เเละกำหนด $A\hat BE=E\hat BC=\alpha,A\hat DC=E\hat CB=\beta$ เห็นได้ว่า $\sin\alpha =AE/AB,\cos\alpha =EB/AB$
โดยกฎของไซน์ ในสามเหลี่ยม $ADE$ $$\frac{AE}{\sin\beta}=\frac{AD}{\sin (-\pi/2+(\alpha+\beta))}=\frac{AD\cdot AB}{AE\sin\beta-EB\cos\beta}\leftrightarrow \cos\beta=\frac{\sin\beta(AE^2-AD\cdot AB)}{AE\cdot EB}$$
เเละในสามเหลี่ยม $EBC$ $$\frac{EB}{\sin\beta}=\frac{BC}{\sin(\pi-(\alpha+\beta))}=\frac{AB\cdot BC}{AE\cos\beta+EB\sin\beta}\leftrightarrow \cos\beta=\frac{\sin\beta(AB\cdot BC-EB^2)}{AE\cdot EB}$$
ดังนั้น $$\frac{\sin\beta(AE^2-AD\cdot AB)}{AE\cdot EB}=\frac{\sin\beta(AB\cdot BC-EB^2)}{AE\cdot EB}\leftrightarrow AB(BC+AD)=AE^2+EB^2=AB^2$$
นั่นคือ $AB=AD+BC$

[No.Name]

ใบ้ว่า CEAX เป็น cyclic ครับ เม่ือ X เป็นจุดตัดของวงกลมกับ AB

[passer-by]

ข้อ 4 ของคุณ Andromeda ถ้าใครรู้ harmonic จะง่ายมากเลยครับ
---------------------------------------------------------------------------

มาปล่อยโจทย์เพิ่มให้ครับ

Q1 (Russia) : มีจำนวนเต็มบวก a,b,c ที่ (a,b,c)=1 และ $ a+b |c ^2 \,\, , b+c|a ^2 \,\, , a+c |b ^2 $ หรือไม่

Q2 : กำหนดจำนวนเต็มบวก m ,n พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ a เป็นอนันต์ที่ $ m | \phi(a+i)\,\, ,\forall i = 0,1,..,n$

Q3: สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี P เป็นจุดภายใน และ $ d_a,d_b,d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ พิสูจน์ $$ \sum d^2_a \geq \sum (PA \sin (\frac{A}{2}))^2 \geq \frac{1}{3} (\sum d_a)^2 $$

Q4 (AMM) : $a_1,a_2,...,a_n >0 $ และ $a_{n+1} = a_1 $ พิสูจน์ $$ \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{k+1}})^{n-1} \geq (2\sum_{k=1}^n a_k \cdot \prod_{k=1}^n a_k^{-1/n}) -n $$

Q5 (Romania): หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ $ n | p_1^2 +p_2^2+...+p_n^2 $ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p_i$ ต่างกันที่ > 3

------------------------------------------------------------------------------------

โจทย์รอบนี้ ขอไม่เฉลย แต่จะให้แค่ Hint (ถ้ามีคนถามครับ)

[No.Name]

เรขาบทกลับนะครับ

สร้าง BX=BC พิสูจน์ว่า ADEX เป็น cyclic ได้ก็จบ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 4 ของคุณ Andromeda

ผมจะแสดงว่า locus ของจุด P ที่ทำให้ $\frac{BP}{PC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC}$ เมื่อ D,E เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในและภายนอก BAC กับ BC

สำหรับทุกจุดใดๆบน locus คือวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ADE

ก่อนอื่น จาก $\frac{BP}{PC}=\frac{BD}{DC}$ จะได้ว่า $PD,PE$ แบ่งครึ่งมุมภายในและภายนอกของมุม BPC ตามลำดับ

ดังนั้น มุม DPE มีขนาดเป็น 90 องศา เท่ากับมุม DAE จะได้ว่า D,P,A,E อยู่บนวงกลมเดียวกันคือวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม DAE

และในทำนองเดียวกันกับจุดอื่นๆที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวก็จะได้ว่า จุดทุกกจุดที่สอดคล้องจะอยู่บนวงกลมเดียวกันคือ

วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ADE$ จึงทำให้ได้ว่า

ทุกจุดบนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ADE$ สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

หวังว่าน่าจะไปต่อได้นะครับ : ))