ขอวิธีหา mode ของ Probability Mass function หน่อยครับ

[t.B.]

เช่น

$P[X=n] = (n-1)(0.4)^2(0.6)^{n-2} ; n\geqslant 2$

ในชีสผมเค้าใช้วิธีเทียบสัดส่วน $\frac{P[X=n+1]}{P[X=n]} $ แล้วได้ว่า n=3 อะครับ

แต่ผมไม่เข้าใจว่าทำไมถึงใช้วิธีแบบนี้ได้ มันหมายความว่ายังไง

หรือถ้ามีวิธีหา mode วิธีอื่น(สำหรับ Discrete probability) ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

Mode ก็คือ ฐานนิยม เป็นค่าที่ทำให้ความน่าจะเป็นสูงสุด

ปกติแล้วการหาค่าสูงสุดเราใช้อนุพันธ์เข้ามาช่วย แต่กรณีนี้ทำไม่ได้เพราะฟังก์ชันนิยามบนจำนวนนับ

เราก็เลยเลี่ยงมาดูอัตราส่วน $\dfrac{P(X=n+1)}{P(X=n)}$ แทน

ค่านี้บอกอะไร ? ก็บอกการเปลี่ยนแปลงค่าของ $P(X=n)$ ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ถ้า $\dfrac{P(X=n+1)}{P(X=n)}\geq 1$ เราจะได้ว่า $P(X=n+1)\geq P(X=n)$

ถ้า $\dfrac{P(X=n+1)}{P(X=n)}\leq 1$ เราจะได้ว่า $P(X=n+1)\leq P(X=n)$

ดังนั้นถ้า $P(X=n)$ เป็นค่าสูงสุด เราจะต้องได้ว่า

$\dfrac{P(X=n)}{P(X=n-1)}\geq 1$ และ $\dfrac{P(X=n+1)}{P(X=n)}\leq 1$

(ก่อนจะถึงค่าสูงสุดฟังก์ชันจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆและหลังจากนั้นจะมีค่าลดลงจากเดิม)

สำหรับ $n$ ที่มีคุณสมบัตินี้ก็จะเป็นหนึ่งในค่าที่อาจจะเป็นค่า mode

(ค่า $n$ ที่มีคุณสมบัตินี้อาจจะมีหลายค่าก็ได้ ซึ่งเราต้องนำมาเปรียบเทียบกันอีกที แต่ถ้ามีค่าเดียวค่านั้นก็จะกลายเป็น mode ทันที)

สำหรับกรณีตัวอย่างที่ให้มาได้ว่า

$\dfrac{P(X=n+1)}{P(X=n)}=\dfrac{0.6n}{n-1}$

ซึ่ง $n$ ที่มีคุณสมบัติที่ผมกล่าวมาก็คือ $n=3$ เท่านั้น

ดังนั้น $n=3$ เป็นค่า mode ครับ