เอาโจทย์มาฝาก

[Siren-Of-Step]

1.กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $x>y>z$ และ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{1}{z^2} $ แล้ว $x^2+y^2+z^2$ น้อยที่สุดเป็นเท่าไร
2. ถ้า $x,y$ เป็นจำนวนจริง
$x \star y = Ax+By+C , C=A-B$
$2\star4 = 10$
$3\star1 =2$
แล้ว $2\star1 = ?$
3. จำนวนที่อยู่ระหว่าง $1-10000$ และมีผลบวกเลขโดดในหลักต่าง ๆ เท่ากับ $10$ มีทั้งหมดกี่จำนวน
4. กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเลขโดด ซึ่ง $A>B>C$ และัเมื่อนำ $ABC$ มาเรียงกันเป็นจำนวน จะได้ว่า $ABC - CBA =CAB$ จงหา่ว่า $BCA = ?$
5. ให้ $x=\dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } $
จงหาค่าของ $bx^2-ax+b$
6. ให้$g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาเศษของการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2. เมื่อลองแทนแล้วจะได้ว่า $x\star y =\frac{1}{2} x+\frac{17}{6}y-\frac{14}{6} $

$\therefore 2\star 1=\frac{3}{2} $

ข้อ 3.

ถ้า 1 หลัก ไม่มี

2 หลัก

มี $9$ จำนวน

3 หลัก

1. มีศูนย์ 1 ตัว มี $18$ จำนวน

2. ไม่มีศูนย์มี $\binom{10+3-1}{3}=220$ วิธี

4 หลัก

1. มีศูนย์ 1 ตัว มี $3\binom{10+3-1}{3}=660$ วิธี

2. มีศูนย์ 2 ตัว มี $108$ วิธี

3. ไม่มีศูนย์ มี $\binom{10+4-1}{3}=286 $วิธี

$\therefore $ มีทั้งหมด $9+18+220+660+108+286=1301$ จำนวน

[Siren-Of-Step]

ยังไม่ถูกครับ ข้อ 3

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. จำนวนที่อยู่ระหว่าง $1-10000$ และมีผลบวกเลขโดดในหลักต่าง ๆ เท่ากับ $10$ มีทั้งหมดกี่จำนวน

พิจารณาสมการ x + y + z + w = 10 โดยที่ $0\le x, y, z, w \in I \le 9$

จะได้ generating function คือ $(1+x+x^2+...+x^9)^4 = (1-x^{10})^4(1-x)^{-4}$

$=(1-4x^{10}+6x^{20}-4x^{30}+x^{40})\sum_{r = 0}^{\infty}\binom{r+3}{3}x^r $

ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ของ $x^{10}$ คือ $1\binom{13}{3} - 4\binom{3}{3} = 286-4 = 282$

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยหรือ Hint ข้อ 1 ด้วยครับ

ยังไปไม่ถูกจริงๆ

[tongkub]

รบกวนข้อ hint ข้อ 1 5 ด้วยครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1.กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $x>y>z$ และ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{1}{z^2} $ แล้ว $x^2+y^2+z^2$ น้อยที่สุดเป็นเท่าไร

สมมติให้ $gcd(x, y) = p > 1$

ดังนั้น $x = mp, y = np$ โดยที่ $m > n$

จะได้ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} =\frac{1}{m^2p^2}+\frac{1}{n^2p^2} = \frac{1}{p^2}\cdot \frac{m^2+n^2}{m^2n^2} = \frac{1}{(mn)^2} $

เมื่อ $m^2+n^2=p^2$

เนื่่องจาก $p$ น้อยสุดที่ทำให้สมการ $m^2+n^2=p^2$ เป็นจริงคือ $p = 5$ และ $4^2+3^2=5^2$

ดังนั้น $(x, y, z) = (mp, np, mn) = ((4)(5), (3)(5),(4)(3)) = (20, 15, 12)$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2 \ge 400 + 225 + 144 = 769$

ยังให้เหตุผลไม่สมบูรณ์นะครับ อาจจะผิดพลาดได้

แต่ถ้าแสดงได้ว่า ถ้า $p = 1$ แล้ว $gcd(x^2+y^2, x^2y^2) = 1$ ก็จะถูกต้องและสมบูรณ์

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

5. ให้ $x=\dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } $
จงหาค่าของ $bx^2-ax+b$

$x=\dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } \times \dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}} $

$x = \dfrac{(a+2b)+(a-2b)+2\sqrt{(a-2b)(a+2b)} }{2a}$

$x = \dfrac{2a+2\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$

$x = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{a}$

$\frac{x}{2} = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$ ....(*)


เทียบจากสูตร $ ax^2 +bx+c$ จะได้ $x = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

จะได้ $\frac{x}{2} = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$

$\frac{x}{2} = bx^2-ax+b$


ตอบ ค่าของ $bx^2-ax+b$ เท่ากับ $\frac{1}{2}x$


สะเพร่าครับ โปรดดู reply แก้ไขข้างล่าง

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$x=\dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } \times \dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}} $

$x = \dfrac{(a+2b)+(a-2b)+2\sqrt{(a-2b)(a+2b)} }{2a}$

$x = \dfrac{2a+2\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$

$x = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{a}$

$\frac{x}{2} = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$ ....(*)


เทียบจากสูตร $ ax^2 +bx+c$ จะได้ $x = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

จะได้ $\frac{x}{2} = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2a}$

$\frac{x}{2} = bx^2-ax+b$


ตอบ ค่าของ $bx^2-ax+b$ เท่ากับ $\frac{1}{2}x$

สะเพร่า รึเปล่าเอ่ย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

สะเพร่า รึเปล่าเอ่ย

ลุงแก่แล้ว เอาใหม่ๆๆ


$x=\dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } \times \dfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}} $

$x = \dfrac{(a+2b)+(a-2b)+2\sqrt{(a-2b)(a+2b)} }{4b}$


$x = \dfrac{2a+2\sqrt{a^2-4b^2} }{4b}$


$x = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2b}$






เทียบจากสูตร $ ax^2 +bx+c$ จะได้ $x = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

จาก $x = \dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2b}$

จะได้ $x= bx^2-ax+b$


ตอบ ค่าของ $bx^2-ax+b$ เท่ากับ $x$

[กิตติ]

ผมสนใจแนวคิดการแก้โจทย์ของคุณ★★★☆☆ ในข้อ3 มากเลยครับ เพราะมันทุ่นเวลาในการตอบโจทย์ได้ดีมากเทียบกับการใช้แนวคิดเรื่องของการจัดเรียงแล้วมีโอกาสคิดตกหล่นมากเลย และได้คำตอบเท่ากัน อยากจะถามว่าวิธีนี้เขาเรียกว่าอะไรครับ อยากรู้มากครับ รบกวนหน่อยครับ

ลองมาดูวิธีการแก้โจทย์แบบการจัดเรียงก่อนซึ่งใช้พื้นที่เยอะ
1.เลข2หลัก มีได้ 9 จำนวน(1-9,2-8,3-7,4-6,5-5)
2.เลข3หลัก มี2กรณี
1.มีศูนย์1ตัว+เลขสองหลักยกมาทั้งหมด มีได้ 18 จำนวน
2.ไม่มีศูนย์
2.1เลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
มี1-2-7,1-3-6,1-4-5,2-3-5........ได้ 24 จำนวน
2.2เลขซ้ำกัน2ตัว
มี1-1-8,2-2-6,3-3-4,4-4-2.....มีได้ 12 จำนวน
รวมมีเลขสามหลัก 54 ตัว

3.เลข4หลัก มี3กรณี
3.1มีศูนย์ 1 ตัว ดึงเลข3หลักใน2.1กับ2.2มาใส่
3.1.1ไม่มีเลขซ้ำ....ได้ 72จำนวน
3.1.2 มีเลขซ้ำ....ได้ 36 จำนวน
3.2มีศูนย์ 2 ตัว ดึงเลข2หลักในเลข2หลักมาใส่...ได้ 27 จำนวน
3.3ไม่มีเลขศูนย์ แบ่งเป็น
3.3.1เลขไม่ซ้ำกันเลย
มีตัวเดียวคือ 1-2-3-4 เกิด24 จำนวน
3.3.2เลขซ้ำกัน2ตัว 1 คู่
คือ1-1-2-6,1-1-3-5,2-2-1-5 ได้ 36 จำนวน
3.3.3เลขซ้ำกัน2ตัว 2 คู่
มี2 ชุดคือ 2-2-3-3,1-1-4-4 เกิด 12จำนวน
3.3.4 เลขซ้ำกัน 3 ตัว
มี3ชุดคือ 1-1-1-7,2-2-2-4,3-3-3-1 เกิดได้ 12 จำนวน
รวมเลข4หลักมีได้ 72+36+27+24+36+12+12 = 219 จำนวน

รวมเลข1-10,000 มีจำนวนเลขที่แต่ละหลักรวมกันได้เท่ากับ 10 มี 9+54+219 =282 จำนวน

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

6. ให้$g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาเศษของการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$

ตอบ 6 หรือเปล่าครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ตอบ 6 หรือเปล่าครับ

ใช่ละครับ ขอวิธีทำด้วยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ใช่ละครับ ขอวิธีทำด้วยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

6. ให้$g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาเศษของการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$

$g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

จะได้ $g(x^{12})=x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1$ ....(*)

$\because \ \ (x-1)g(x) = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ =$x^6-1$

จาก (*) จะได้ $g(x^{12})=(x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+6$

และเพราะว่า $(x^6-1)|(x^{60}-1), \ (x^6-1)|(x^{48}-1), \ (x^6-1)|(x^{24}-1), \ (x^6-1)|(x^{12}-1)$

ดังนั้น $(x-1)g(x) | [(x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)]$
ทำให้เกิดพหุนามก้อนหนึ่งที่เป็นผลลัพธ์ สมมุติว่าเรียก $h(x)$

เราจะได้ $(x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1) =(x-1)g(x)h(x)$

ทำให้ $g(x^{12}) = (x-1)g(x)h(x)+6 = g(x)[(x-1)h(x)] +6 \ \ \ \ $ (ตัวตั้ง =ตัวหารคูณผลลัพธ์ +เศษ)

นั่นคือ เศษ $= 6$

[~ArT_Ty~]

ผมก็ทำอย่างคุณลุง Banker แหละครับ