อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[breeze123]

คือมันมีโจทย์ใน Mathscope ข้อนึงอะคับให้พิสูจน์ว่า
ถ้า $ x+y=a+bและ x^4+y^4=a^4+b^4 แล้ว x^n+y^n=a^n+b^n $
ขอพี่ๆช่วยตรวจสอบวิธีหน่อยอะคับ
พิจารณา $(x^2+y^2)^2=a^4+b^4+2x^2y^2 $
$x^2+y^2=(a+b)^2-2xy$
แทนค่ากลับ ได้ $[(a+b)^2-2xy]^2=a^4+b^4+2x^2y^2$
$4a^3b+6a^2b^2+4ab^3-4xya^2-4xyb^2-8xyab+2x^2y^2=0$
$(2a^2+2b^2+3ab-xy)(xy-ab)=0$
$xy=ab$
$x+y=a+b$
$x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2$
$x^2-2xy+y^2=a^2-2ab+b^2$
$(x-y)^2=(a-b)^2$
$x+b=y+a$
$x+y=a+b$
$b-y=y-b$
$x=a,y=b$
ดังนั้น $x^n-a^n=b^n-y^n$ เพราะต่างก็มี $(x-a),(y-b)$ เป็นตัวประกอบ
จึงเป็นจริง

[owlpenguin]

ทำไม $2a^2+2b^2+3ab-xy\not =0$ ล่ะครับ

[breeze123]

จากสมการข้างบน ถ้าเปลี่ยน
$a^2+b^2=(x+y)^2-2ab$
ในทำนองเดียวกันก็จะได้ $2x^2+2y^2+3xy-ab=0$(ความสมมาตรของตัวแปร)
พิจารณา ถ้า
$2a^2+3ab+2b^2-xy=0$
$2x^2+3xy+2y^2-ab=0$
นำทัั้ั้้งสองสมการบวกกัน
$a^2+ab+b^2+x^2+xy+y^2=0$
$(a+b)^2+(x+y)^2=-ab-xy$
เป็นไปไม่ได้
พิสูจน์จากอสมการ
$(a+b)^2\geqslant 4ab$
$(x+y)^2\geqslant 4xy $
$(a+b)^2+(x+y)^2\geqslant 4ab+4xy$
จบ
ไม่รู้ถูกป่าวอะคับ - -*
พี่ Maphybich เค้าใช้อุปนัย
มองว่า P(k) เป็นจริงแล้วลองเขียนสมการ P(k+1) แล้วลองมองที่ P(4) ซึ่งเป็นจริงแน่นอนก็จะออกครับ
คือผมยังงงๆวิธีอะคับ ใครใจดีช่วยอธิบายหน่อย plz^^

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ทำไม $2a^2+2b^2+3ab-xy\not =0$ ล่ะครับ

เป็นศูนย์ได้ครับ แต่เราจะได้ trivial case

จาก $(2a^2+2b^2+3ab-xy)(xy-ab)=0$

เราแยกเป็นสองกรณื

กรณีืที่ 1 $2a^2+2b^2+3ab-xy=0$ จะได้

$2(a+b)^2-ab-xy=0$

$(a+b)^2+(x+y)^2-ab-xy=0$

$a^2+ab+b^2+x^2+xy+y^2=0$

$(a+\dfrac{b}{2})^2+(x+\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3}{4}b^2+\dfrac{3}{4}y^2=0$

$a=b=x=y=0$

กรณีที่ 2 $xy=ab$ พิสูจน์โดย induction ดังนี้

$x^{n+1}+y^{n+1}=(x+y)(x^n+y^n)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b)(a^n+b^n)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})$

$~~~~~~~~~~~~~~~=a^{n+1}+b^{n+1}$

[breeze123]

แล้วข้อนี้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้หรือเปล่าอะคับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ breeze123

แล้วข้อนี้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้หรือเปล่าอะคับ

อยู่ในกรณีที่สองแล้วครับ แต่ผมเขียนเฉพาะขั้นอุปนัย ลองฝึกเขียนแบบเต็มๆดูครับ

[breeze123]

ขอบคุณครับ ^^

[Maphybich]

ทำไมคุณ Breeze ถึงมาเหน็บผมอย่างนี้เนี่ย = = ฟังผมพูดไม่รู้เรื่องแล้วยังมาพูดมั่วอีกเนี่ย ...
ผมบอกให้ มองว่า P(k) เป็นจริงแล้วลองเขียนสมการ P(k+1) แล้วลองมองที่ P(4) ซึ่งเป็นจริงแน่นอนก็จะออกครับ = =