รบกวนพี่ๆสอนหน่อยครับ

[message999]

1.ถ้า 4-3i เป็นคำตอบหนึ่งของสมการพหุนามดีกรี 2 จงหาสมการพหุนามนั้น

2.จงหาค่าของ $\frac{3-4i}{5+3i}$

3.กำหนดให้ Z=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ จงเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

4.กำหนดให้ Z=2(cos$\frac{\pi }{32}$+isin$\frac{\pi }{32}$) จงหา $Z^8$

5.มีนักเรียนหญิง 5 คน นักเรียนชาย 6 คน นำมาจัดนั่งเรียงเป็นแถวตรง โดยให้ผู้หญิงผู้ชายนั่งสลับกันทำได้กี่วิธี

6.กำหนด 2-3i และ 3+2i เป็นคำตอบของสมการ $x^4-10x^3+50x^2+ax+b=0$ จงหาค่า a+b

7.มีผู้หญิง 6 คน ผู้ชาย 6 คน นั่งสลับกันรอบโต๊ะกลมตัวหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่ผู้ชาย 2 คน ซึ่งกำหนดไว้นั่งตรงข้ามเสมอ

8.กำหนด A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} จงหาจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกภายในเซตมากกว่า 2 ตัว แต่น้อยกว่า 5 ตัว

9.กล่องใบหนึ่งมีบอลสี 10 ลูก เป็นสีแดง 5 ลูก สีเหลือง 3 ลูก และสีขาว 2 ลูก สุ่มหยิบมา 3 ลูก พร้อมกัน จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบได้สีเหลืองอย่างมาก 2 ลูก

10.มีหนังสือ 5 เล่ม แบ่งให้นาย ก และนาย ข จะแบ่งได้กี่วิธี

11.กำหนด $(2x-3y)^{10}$ จงหาพจน์กลาง

12.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 3 สี เป็นสีแดง 5 ลูก สีเหลือง 4 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก สุ่มหลิบครั้งละ 1 ลูก 3 ครั้ง(แบบไม่ใส่คืน)จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สีละลูก

13.กำหนด $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\frac{3}{10}$ จงหาค่า $P(A\cup B')$

14.จากการกระจาย $(3a-4b+5c+7d)^6$ กระจายได้กี่พจน์

15.กำหนด $a+b_i = (i+2)(1-2i)(4+3i)$ จงหาค่า a+b

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

14.จากการกระจาย $(3a-4b+5c+7d)^6$ กระจายได้กี่พจน์

ตอบคำถามนี้ให้ได้ครับ

มีของที่เหมือนกัน 6 ชิ้น ต้องการแจกให้เด็ก 4 คน โดยไม่มีเงื่อนไข จะแจกได้ทั้งหมดกี่วิธี

เช่น

(0, 0, 0, 6) นับเป็น 1 วิธี

(0, 6, 0, 0) นับเป็นอีก 1 วิธี

(1, 1, 3, 1) นับเป็นอีก 1 วิธี

เป็นต้น.

ซึ่งอาจจะใช้หลักการเรียงอักษรซ้ำเป็นเส้นตรงมาแจงนับในแต่ละกรณี

แต่วิธีที่ดีที่สุด ก็คือการใช้หลัก Stars and Bars

เช่น

(0, 0, 0, 6) แทนด้วย |||******

(1, 1, 3, 1) แทนด้วย *|*|***|*


ลองค้นดูในเว็บเพิ่มเติม ถ้าสงสัยครับ.

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

2.จงหาค่าของ $\frac{3-4i}{5+3i}$

ข้อ 2. $\frac{3-4i}{5+3i}$ = $\frac{3-4i}{5+3i}$ คูณ $\frac{5-3i}{5-3i}$
= $\frac{15-9i-20i-12 }{34}$ = $\frac{3-29i}{34}$

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

12.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 3 สี เป็นสีแดง 5 ลูก สีเหลือง 4 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก สุ่มหลิบครั้งละ 1 ลูก 3 ครั้ง(แบบไม่ใส่คืน)จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สีละลูก

P(E) = $\frac{5}{12}(โอกาสได้สีเเดงจาก 12 ลูก)$x$\frac{4}{11}(โอกาสได้สีเหลืองจาก 11 ลูก เพราะหยิบไม่ใส่คืน)$x$\frac{3}{10}(โอกาสได้น้ำเงินจาก 10 ลูก เพราะหยิบไม่ใส่คืนอีกครั้ง)$ = $\frac{60}{1320}$=$\frac{1}{12}$

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

3.กำหนดให้ Z=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ จงเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

เนื่องจาก $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $cos\frac{-\Pi }{3}$ เเละ $\frac{-1}{2}$ = $sin\frac{-\Pi }{3}$ เช่นกัน
ดังนั้น Z=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ = $cos\frac{-\Pi}{3}+isin\frac{-\Pi}{3}$=$cis\frac{-\Pi}{3}$

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

5.มีนักเรียนหญิง 5 คน นักเรียนชาย 6 คน นำมาจัดนั่งเรียงเป็นแถวตรง โดยให้ผู้หญิงผู้ชายนั่งสลับกันทำได้กี่วิธี

มี 2 เเบบ คือ
1.ให้ผู้ชายอยู่ซ้ายสุด ได้ 6!(วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของผู้ชาย 6 คน) x 5!(วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของผู้หญิง 5 คน) = 720 x 120 = 86400 วิธี
2.ให้ผู้หญิงอยู่ซ้ายสุด ได้ 6!(วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของผู้ชาย 6 คน) x 5!(วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของผู้หญิง 5 คน) เช่นกัน = 86400 วิธี
86400+86400 = 172800 วิธี (ข้อสอบเตรียมสมัยเอโดะ )

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

1.ถ้า 4-3i เป็นคำตอบหนึ่งของสมการพหุนามดีกรี 2 จงหาสมการพหุนามนั้น

เราจะได้ว่าอีกคำตอบหนึ่งของสมการคือ $4+3i$
สมการที่โจทย์ถามคือ $x^2-8x+25=0$
คิดจาก $x^2-((4-3i)+(4+3i))x+((4+3i)(4-3i))$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

7.มีผู้หญิง 6 คน ผู้ชาย 6 คน นั่งสลับกันรอบโต๊ะกลมตัวหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่ผู้ชาย 2 คน ซึ่งกำหนดไว้นั่งตรงข้ามเสมอ

จับผู้ชายสองคนตรึงไว้เลย จากที่นั่ง 12 ที่ แบ่งเป็นสองฟาก ฟากละ 5 ที่ ลองตัดแบ่งดูฟากเดียว
0_X_0_X_0_X_0
0 คือชาย Xคือหญิง
อีกฟากก็เรียงแบบเดียวกัน
จัดผู้หญิงลงได้ 6! จัดผู้ชายที่เหลือได้ 4!
จำนวนวิธีที่ผู้ชาย 2 คน ซึ่งกำหนดไว้นั่งตรงข้ามเสมอ แสดงว่าโจทย์กำหนดให้เป็นสองคนที่แน่นอน เราไม่ต้องไปหยิบเลือกสองคนนี้ สำหรับผู้ชายสองคนที่กำหนดไว้แล้ว การสลับที่กันไม่เกิดจำนวนวิธีใหม่
ข้อนี้ผมว่าตอบ $4!6!$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

6.กำหนด 2-3i และ 3+2i เป็นคำตอบของสมการ $x^4-10x^3+50x^2+ax+b=0$ จงหาค่า a+b

สมการนี้มีคำตอบ 4 คำตอบ โจทย์กำหนดให้ 2-3i และ 3+2i เป็นคำตอบ ดังนั้นที่เหลือคือ $ 2+3i$ และ $3-2i$
เราจะได้ว่า $b$ เท่ากับผลคูณของคำตอบ
คือ $(2-3i)(2+3i)(3+2i)(3-2i)$
เท่ากับ $(4+9)(9+4)=13^2=169$

$a$ เท่ากับผลคูณทีละสามพจน์ของคำตอบ
$a=-\left[\,(2-3i)(2+3i)(3+2i)+(2-3i)(2+3i)(3-2i)+(2-3i)(3+2i)(3-2i)+(2+3i)(3+2i)(3-2i)\right] $

$=-\left(\,(2-3i)(2+3i)(3+2i)(3-2i)\right)\left\{\,\frac{1}{3-2i}+\frac{1}{3+2i}+\frac{1}{2+3i}+\frac{1}{2-3i} \right\} $

$=-\left(\,169\right)\left\{\,\frac{6}{13}+\frac{4}{13}\right\}$

$=-130$

$a+b=39$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

8.กำหนด A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} จงหาจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกภายในเซตมากกว่า 2 ตัว แต่น้อยกว่า 5 ตัว

จงหาจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกภายในเซตมากกว่า 2 ตัว แต่น้อยกว่า 5 ตัว คือมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3กับ4 ตัว
จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกภายในเซตเท่ากับ 3 ตัว มีทั้งหมด $\binom{10}{3}=120$ เซต
จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกภายในเซตเท่ากับ 4 ตัว มีทั้งหมด $\binom{10}{4}=210$ เซต
รวมสิ่งที่โจทย์ถามคือ $330$ เซต

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

15.กำหนด $a+b_i = (i+2)(1-2i)(4+3i)$ จงหาค่า a+b

เขียนเรียงใหม่ให้ดูง่ายขึ้น
$a+b_i = (2+i)(1-2i)(4+3i)$
มองเห็นว่า $a$ ที่เป็นจำนวนเต็มเกิดได้จากพจน์ในวงเล็บที่เป็นจำนวนเต็มคูณกันทั้งสามวงเล็บ และเกิดจาก 2 วงเล็บที่มีพจน์ i กับอีกหนึ่งวงเล็บที่เป็นจำนวนเต็ม
เท่ากับ $(2\times 1\times 4+(-2i)(i)(4)+(-2i)(3i)(2)+(1)(3i)(i))$
$=8+8+12-3=25$
$a=25$

$b$ ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของ i เกิดจากสปส.ของ iคูณกันทั้งสามวงเล็บ กับสองวงเล็บที่เลือกเอาจำนวนเต็มคูณกับหนึ่งวงเล็บที่เป็นพจน์ของ i
เท่ากับ $(i)(-2i)(3i)+(2)(1)(3i)+(2)(4)(-2i)+(4)(1)(i)$
$=-6i^3+6i-16i+4i$
$=6i+4i-10i$
$=0$
$a+b=25$

ถ้าทำง่ายๆก็จับคูณกันเลย
$ (2+i)(1-2i)(4+3i)=(2-4i+i-2i^2)(4+3i)$
$=(4-3i)(4+3i)$
$=25$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

13.กำหนด $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\frac{3}{10}$ จงหาค่า $P(A\cup B')$

$P(A\cup B')=P(A'\cap B)'=P(B-A)'=1-P(B-A)$
$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$
$P(A\cup B')=1-P(B-A)=\frac{4}{5}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ message999

11.กำหนด $(2x-3y)^{10}$ จงหาพจน์กลาง

เรารู้ว่าจากการกระจาย $(a+b)^n$ ได้ทั้งหมด $n+1$
$(2x-3y)^{10}$ กระจายได้ 11 พจน์ ดังนั้นพจน์กลางคือพจน์ที่6 คือพจน์ที่มี $x^5y^5$
$=\binom{10}{5}(2x)^5(-3y)^5 $
$=-210(32)x^5(243)y^5$
$=-(210)(32)(243)x^5y^5$

[message999]

ขอบคุณมากครับผมเข้าใจแล้ว

[Keehlzver]

ผมมาโพสต์ที่เหลือให้นะครับ
4.เดอร์มัวร์ $(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)$
ดังนั้น $Z^8=2^8(cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4}))=256+256i$ ตอบ

9.โจทย์อยากได้เหลืองอย่างมาก 2 ลูก หมายความว่าต้องการเหลืองมากสุดแค่ 2 ลูกเท่านั้น ห้ามเกิน
จำนวนวิธีที่หยิบได้เหลือง 3 ลูก คือ 1 วิธี ดังนั้นข้อนี้ตอบ $\binom{10}{3}-1=119$
มองอีกแบบก็ได้คือ หยิบเหลือง 0,1,2 ลูกแล้วหยิบที่เหลือให้ครบ 3 ลูก ซึ่งทำได้ทั้งหมด $\binom{3}{0}\binom{7}{3}+\binom{3}{1}\binom{7}{2}+\binom{3}{2}\binom{7}{1}=119$ เท่ากัน

10. 5 เล่มแตกต่างกันแบ่งให้คนสองคน ซึ่งถือว่าต่างกัน ก็แจกให้ ก ก่อน แล้วที่เหลือให้ ข
เพราะฉะนั้นถ้า ก ได้ x เล่ม ข ต้องได้ 5-x เล่ม x=0,1,2,3,4,5
ซึ่งทำได้ $\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=2^5=32$ วิธี ตอบ
มองอีกแบบนึงก็ได้ มันคือ $s(5,2)$ โดยที่ $s(n,k)$ คือจำนวนสเตอริงค์แบบที่ 1 ก็ใช้สูตร $s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)$ หาออกมา ได้ $s(5,2)=32$ ก็ได้เหมือนกันครับ