ปริมาตรของทรงกลมในลูกบาศก์

[nooonuii]

เพื่อนถามคำถามเรขาคณิตมาครับ ยังไม่ได้คิดเหมือนกันแต่เห็นว่าน่าสนใจดีครับเลยเอามาฝาก

กำหนดลูกบาศก์ความยาวด้านละหนึ่งหน่วย ที่มุมทั้งแปดของลูกบาศก์เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย จงหาปริมาตรของบริเวณที่เป็นส่วนร่วมกันของทรงกลมทั้งแปด

[gon]

เพื่อนที่ถามคิดออกแล้วหรือยังคิดไม่ออกครับ.

[คณิตศาสตร์]

ต้องเขียนแล้วแหละ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เพื่อนที่ถามคิดออกแล้วหรือยังคิดไม่ออกครับ.

เพื่อนก็ยังคิดไม่ออกครับ เขาบอกว่าอาจจะใช้ multiple integral มาช่วย จริงๆเขาถามหาวารสาร Crux จากผมครับ เพราะเขาคุ้นๆว่าเคยเห็นวิธีคิดในวารสารนี้เมื่อนานมาแล้ว แต่ผมไม่มีวารสารเล่มเก่าๆครับ ก็เลยเอามาถามที่นี่ ผมว่าคงไม่เกินฝีมือเซียนเรขาคณิตที่นี่นา

[Switchgear]

ผมยังคิดไม่ได้ แต่ขอเติมคำถามต่อไปอีก คือ ให้หาพื้นที่ผิวของปริมาตรดังกล่าวด้วย :-)

[nooonuii]

เท่าที่คิดดูน่าจะใช้ inclusion - exclusion principle ได้ครับ แต่คงโหดหินน่าดูเพราะมีตั้งแปดเซตแน่ะ งั้นเอาแบบสองมิติซึ่งง่ายกว่าไปคิดกันพลางๆก่อนครับ

กำหนดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสความยาวด้านหนึ่งหน่วย ที่มุมทั้งสี่เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย จงหาพื้นที่ของบริเวณที่เป็นส่วนร่วมกันของวงกลมทั้งสี่

[DAKONG]

ผิวทรงกลมสัมผัสกันพอดีหรือเปล่าครับ ไม่แน่ใจอ่ะ ลองเขียนรูปดูสิครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DAKONG

ผิวทรงกลมสัมผัสกันพอดีหรือเปล่าครับ ไม่แน่ใจอ่ะ ลองเขียนรูปดูสิครับ

ไม่สัมผัสกันนะครับ แต่ผิวทรงกลมจะสัมผัสกับจุดมุมของลูกบาศก์ที่อยู่ใกล้ที่สุดสามจุดครับ

[TOP]

ผมลองจินตนาการ แล้วใช้ asymptote วาดรูปตามที่คิดไว้ออกมา

เริ่มจาก ทรงกลม 4 อัน ที่มุม O, X, A, Y มีส่วนร่วมกัน มีรูปร่างคล้ายปิรามิด มีฐานอยู่บนระนาบ OXAY
และเมื่อพิจารณาทรงกลม 4 อันที่มุมข้างบน ก็จะได้รูปเหมือนกัน เพียงแต่กลับหัว
ดังนั้น ส่วนร่วมกัน คิดเป็นปริมาตร 2 เท่า ของส่วนที่เลยครึ่งหนึ่งของกล่องขึ้นไป



ส่วนการคำนวณที่เหลือ ปล่อยเป็นหน้าที่ของคนอื่นต่อไป