โจทย์อะครับ

[phoenixs]

a+b+c+1/a+1/b+1/c\leqslant 3+a/b+b/c+c/a โดยabc=1 และa,b,c\succ 0

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ phoenixs

$a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} $ โดย $abc=1$ และ$a,b,c> 0$

แบบนี้หรอครับ

[nooonuii]

Schur's inequality : $x^3+y^3+z^3 + 3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Let $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{c}{a},z=c$. Simplify!

[phoenixs]

งงอะครับ ช่วยดูหน่อยนะครับ
แล้วมีวิธีที่ไม่ไช่shur ไหมครับ ผมลืมบอก

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ดัดแปลงมาจาก IMO2000

$\Big(a-1+\dfrac{1}{b}\Big)\Big(b-1+\dfrac{1}{c}\Big)\Big(c-1+\dfrac{1}{a}\Big)\leq 1$

วิธีที่ใช้พิสูจน์คือใช้อสมการ

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$

ซึ่งเป็น Schur's inequality รูปแบบหนึ่งครับ

ถ้าจัดรูปจากอสมการที่ถามมาจนถึงอสมการที่เป็นโจทย์ IMO ก็สามารถใช้อสมการ AM-GM ได้

แต่ผมว่าใช้ Schur สะดวกกว่าครับ

[phoenixs]

ผมไม่ค่อยเคลียอะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ผมจะใช้แค่ $AM-GM-HM และอสมการพื้นฐานครับ$ถ้าผิดตรงไหนก็บอกมาครับ
จัดรูปใหม่จะได้
$\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}+\frac{c+1}{c}\leqslant \frac{a+b}{b}+\frac{c+b}{c}+\frac{c+a}{a}$
.................................................................................................................

$\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\leqslant \frac{a+b}{b}+\frac{c+b}{c}+\frac{c+a}{a}$

อสมการเป็นแบบนี้ครับ

[Platootod]

ผมพิสจน์ผิดครับ
รบกวนพี่ nooonuii ช่วยเฉลย solution เต็มหน่อยได้ไหมครับ
ถึงแม้โจทย์จะเป็นแบบนี้$a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ แต่ผมก็ผิดอยู่ดีครับ
ถามหน่อยครับ
มีโจทย์อสมการหลายข้อที่ต้องพิสูจน์อีกอสมการหนึ่งก่อนพี่ทราบได้ไงครับ
ว่าต้องพิสูจน์อสมการนั้นก็ถึงจะออกมาเป็นอสมการที่เราต้องการครับ
หรือว่าต้องอาศัยประสบการณ์อย่างเดียวครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Schur's inequality : $x^3+y^3+z^3 + 3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Let $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{c}{a},z=c$. Simplify!

สำหรับเฉลยถ้าลองแทนค่าตามนี้แล้วจัดรูปโดยใช้เงื่อนไข $abc=1$ ก็จะได้คำตอบครับ

แต่เบื้องหลังการถ่ายทำเป็นแบบนี้

Homogenize โดยให้ $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$

อสมการจะสมมูลกับ

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\leq 3 + \dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}$

คูณด้วย $(xyz)^2$ ได้

$xyz[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]\leq 3(xyz)^2+(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3$

ให้ $p=xy,q=yz,r=zx$ จะได้อสมการ

$p^2(r+q)+q^2(p+r)+r^2(q+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$

$pq(p+q)+qr(q+r)+rp(r+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$

ซึ่งเป็นจริงจาก Schur's inequality

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ถามหน่อยครับ
มีโจทย์อสมการหลายข้อที่ต้องพิสูจน์อีกอสมการหนึ่งก่อนพี่ทราบได้ไงครับ
ว่าต้องพิสูจน์อสมการนั้นก็ถึงจะออกมาเป็นอสมการที่เราต้องการครับ
หรือว่าต้องอาศัยประสบการณ์อย่างเดียวครับ

ประสบการณ์ครับ ลองคิดดูเล่นๆว่าถ้าเราไม่เคยพบเคยเห็นอสมการเหล่านั้นมาก่อน

มันยากแค่ไหนที่จะปิ๊ง!มีอสมการนั้นโผล่ขึ้นมาในหัว

ทำโจทย์เยอะๆครับ เหมือนที่หลายคนออกมาแนะนำนั่นแหละ

พวกเขาเหล่านี้ต่างรู้ดีว่าทำโจทย์เยอะๆแล้วมันได้ผล

แต่บอกอะไรมากไปกว่านั้นไม่ได้เพราะเราต้องทำเองถึงจะรู้

พระพุทธองค์เคยตรัสไว้ว่า "ผู้ใดเห็นธรรม ผู้นั้นเห็นเรา"

หมายความว่า ถ้าเราไม่ปฎิบัติธรรม เราก็ไม่มีวันได้พบกับพระพุทธองค์

เพราะพระพุทธองค์คือ ธรรม ธรรมคือ พระพุทธองค์

การเรียนก็เช่นกัน ถ้าเราไม่ปฎิบัติให้เห็นจริง ก็เข้าถึงแก่นของวิชานั้นๆได้ยากครับ