Complete Residue System

[Mojo-Mojo]

จงพิสูจน์ว่า p>3 เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... +\frac{1}{(p-1)^2} = \frac{m}{n}$

แล้ว $p\left|\,\right. m $

ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[Amankris]

ใช้ Inverse ช่วยทำได้

[Mojo-Mojo]

มันคืออะไรหรอครับ "Inverse"

[Amankris]

ลองอ่าน Link นี้ดูนะครับ

[prapaeneeth]

ขอบคุณครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{a}{b}$ โดย $(a,b)=1$

$N\dfrac{a}{b}= N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) $ และ $N= ((p-1)!)^2$ จะได้ $b|N$

ให้ $N_i=\dfrac{N}{i^2}$ สำหรับ $i=1,2,...,p-1$ ดังนั้น

$N_i \equiv (i^{-1})^2 \pmod{p}$ take sum ไปทั้งสองข้างก็จะได้

$N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv (1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \pmod {p}$

$(1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \equiv 1^2+2^2+3^2+...+(p-1)^2 \equiv 0 \pmod{p}$

$N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) = N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv 0 \pmod{p}$

จะได้ $p|a$

ดังนั้น $p|m$

[Mojo-Mojo]

ขอบคุณมากครับ เอิ่ม...และถ้าอย่างนี้ล่ะครับ

จงพิสูจน์ว่า $p\geqslant 5$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + ... +\frac{1}{(p-1)^2} = \frac{m}{n}$

แล้ว $p\left|\,\right. m $

ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ก็ดึง $\dfrac{1}{4}$ ออกมาแค่นั้นแหละครับแล้วทำคล้ายเดิม ๆ เพิ่มอะไรนิดๆหน่อย

[Mojo-Mojo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{a}{b}$ โดย $(a,b)=1$

$N\dfrac{a}{b}= N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) $ และ $N= ((p-1)!)^2$ จะได้ $b|N$

ให้ $N_i=\dfrac{N}{i^2}$ สำหรับ $i=1,2,...,p-1$ ดังนั้น

$N_i \equiv (i^{-1})^2 \pmod{p}$ take sum ไปทั้งสองข้างก็จะได้

$N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv (1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \pmod {p}$

$(1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \equiv 1^2+2^2+3^2+...+(p-1)^2 \equiv 0 \pmod{p}$

$N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) = N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv 0 \pmod{p}$

จะได้ $p|a$

ดังนั้น $p|m$

เอ่อ ช่วยอธิบายตรงสีแดงหน่อยได้มั้ยครับ ว่ามันมายังไงอะครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

มีสมบัติ inverse modulo อยู่ครับว่า inverse ของมันคือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวมันกล่าวคือ

$\left\{\,a_1^{-1},a_2^{-1},...,a_{p-1}^{-1}\right\}= \left\{\,1,2,3,..,p-1\right\} $