ช่วยหน่อยครับ โจทย์ความน่าจะเป็น (จัดเป็นวงกลมของซ้ำ)

[cheng]

ขอสอบถามดังนี้นะครับ
1.นำลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก และสีเหลือง 1ลูก มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ได้กี่วิธี (แยกเป็นกรณีพลิกได้ และพลิกไม่ได้)
2.พอทราบบ้างว่า สูตรที่ใช้คิดข้อนี้คือ (6-1)! หารด้วย (3!2!1!) ถูกต้องไหมครับ? และจะใสใช้สูตรนี้ได้มีเงื่อนไขว่า หรม.ของจำนวนซ้ำ (ในกรณีนี้คือ 3 , 2 , 1) ต้องเท่ากับ 1 อยากทราบเหตุผล ที่มา ว่า หรม.ของจำนวนซ้ำมันเกี่ยวข้องยังไงครับ
3.ถ้าเปลี่ยนเป็นลูกบอลสีแดง สีเขียว สีเหลือง อย่างละ 2 ลูก จะเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมได้กี่วิธีครับ (กรณีนี้ หรม. ของ 2 , 2 , 2 ไม่เท่ากับ 1)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cheng

ขอสอบถามดังนี้นะครับ
1.นำลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก และสีเหลือง 1ลูก มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ได้กี่วิธี (แยกเป็นกรณีพลิกได้ และพลิกไม่ได้)
2.พอทราบบ้างว่า สูตรที่ใช้คิดข้อนี้คือ (6-1)! หารด้วย (3!2!1!) ถูกต้องไหมครับ? และจะใสใช้สูตรนี้ได้มีเงื่อนไขว่า หรม.ของจำนวนซ้ำ (ในกรณีนี้คือ 3 , 2 , 1) ต้องเท่ากับ 1 อยากทราบเหตุผล ที่มา ว่า หรม.ของจำนวนซ้ำมันเกี่ยวข้องยังไงครับ
3.ถ้าเปลี่ยนเป็นลูกบอลสีแดง สีเขียว สีเหลือง อย่างละ 2 ลูก จะเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมได้กี่วิธีครับ (กรณีนี้ หรม. ของ 2 , 2 , 2 ไม่เท่ากับ 1)

1. 5, 10

2. เกี่ยวครับ มันจะมีคาบที่ต่างกัน อันนี้เข้าใจยากครับ

สูตรดูได้จากที่คุณ Little Penguin เขียนไว้ในนี้ครับ. มีคำถามเกี่ยวกับการจัดเรียงบนวงกลมมาถามครับ

ลองง่าย ๆ เช่นถ้าเป็น $A, A, B, B$ ถ้าใช้ผิด จะได้ $\frac{3!}{2!2!}$ ซึ่งไม่ลงตัว

แต่ถ้าใช้สูตรของโพลยา จะได้ $\frac{1}{4}[1\times \frac{4!}{2!2!} + 1\times \frac{2!}{1!1!}] = 2$ ซึ่งลงตัวเสมอ

3. $R,R,G,G,Y,Y$ จัดเป็นวงกลมได้ $\frac{1}{6}[1\times \frac{6!}{2!2!2!} + 1\times \frac{3!}{1!1!1!}] = 16$ วิธี

[cheng]

ขอบคุณ คุณ GON มากครับ แต่ขอสูตรทั่วไปของโพลยาที่ใช้ในการคำนวณด้วยได้ไหมครับ
เพราะไม่แน่ใจว่า ตัวเลข 1 , 3 ในสูตรคือค่าอะไร?
ผมเดาว่า 1 ที่เอาไปคูณคือค่าของจำนวนลูกบอลที่สลับกัน
และ 3 คือจำนวนสีของลูกบอล ใช่ไหมครับ? แล้ว 1! คืออะไรครับ?

[kongp]

ท.บ. เซ็ตไงครับ กับ บททวินามไบโนเมียล สำหรับ 1!

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cheng

ขอบคุณ คุณ GON มากครับ แต่ขอสูตรทั่วไปของโพลยาที่ใช้ในการคำนวณด้วยได้ไหมครับ
เพราะไม่แน่ใจว่า ตัวเลข 1 , 3 ในสูตรคือค่าอะไร?
ผมเดาว่า 1 ที่เอาไปคูณคือค่าของจำนวนลูกบอลที่สลับกัน
และ 3 คือจำนวนสีของลูกบอล ใช่ไหมครับ? แล้ว 1! คืออะไรครับ?

สูตรผมเขียนบอกไปแล้วไงครับ ลองกดเข้าไปดูหรือยัง

ผมคัดลอกมาให้ดูก็ได้ แต่ขอเปลี่ยนตัวแปรใหม่เป็น

จำนวนวิธีเรียงของ $n$ ชิ้น โดยมี $k$ ชนิด ชนิดที่ $i$ มีของ $n_i$ ชิ้น เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (ของชนิดเดียวกัน ถือว่าเหมือนกัน) เป็นวงกลม เท่ากับ
$$\frac{1}{n}\sum_{d|g}\phi(d)\frac{(n/d)!}{\prod_{i = 1}^{k}(n_i/d)!}$$
เมื่อ $g=(n_1,n_2,\cdots,n_k)$ และ $\phi(d)$ คือ Totient function (หรืออีกในนามว่า phi function)

และ $n = n_1+n_2+...+n_k$

เช่น มี A 3 ตัว B 2 ตัว C 3 ตัว จะมีวิธีเรียงเป็นวงกลมทั้งหมด $$\frac{1}{8}\sum_{d|1}\phi(d)\frac{(8/d)!}{\prod_{i = 1}^{3}(n_i/d)!} =\frac{1}{8}\left(\frac{8!}{3!2!3!}\right)=\frac{(8-1)!}{3!2!3!}$$

Proof: Pólya enumeration theorem

เช่น ห.ร.ม.ของ (2, 2, 2) = 2 แล้ว d | 2 แทน จำนวนเต็มบวกที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ 1 กับ 2

$R,R,G,G,Y,Y$ จัดเป็นวงกลมได้ $\frac{1}{6}[\phi(1)\times \frac{(6/1)!}{(2/1)!(2/1)!(2/1)!} + \phi(2) \times \frac{(6/2)!}{(2/2)!(2/2)!(2/2)!}] = 16$ วิธี

(ในวงเล็บ ก้อนแรกคือ d =1 , อีกก้อนคือ d =2)

$\phi(n)$ คือ ดูว่าในบรรดาจำนวนเต็มบวก $1, 2, ... , n - 1$ จะมีอยู่กี่ตัวที่ ห.ร.ม.ของมันกับ $n$ มีค่าเป็น 1

เช่น $\phi(4) = 2$ เนื่องจาก ห.ร.ม.ของ 1, 3 กับ 4 เป็น 1

[cheng]

ขอบคุณอีกทีครับ