Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 20 มีนาคม 2015, 16:22
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default ขอถามเรื่อง jensen

คืออสมการ jensen กล่าวไว้ว่าดังนี้ครับ

"ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันนูน และ $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $f(x_i)$ หาค่าได้เมื่อ $i=1$ ถึง $n$ จะได้ว่า $$\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+...+f(x_n)}{n} \geq f\left(\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}\,\right) $$
ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเว้าเครื่องหมายอสมการก็จะกลับข้าง"

ซึ่งผมทดลองแล้วว่ามันใช้ได้ดีกับการแก้โจทย์อสมการผลบวกที่ซับซ้อน ดังนั้นผมก็เลยสงสัยว่ามีอสมการแบบเดียวกันแต่ว่าเป็นผลคูณดังข้างล่างนี้ไหม

"ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันนูน และ $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $f(x_i)$ หาค่าได้เมื่อ $i=1$ ถึง $n$ จะได้ว่า $$\sqrt[n]{ f(x_1)f(x_2)f(x_3)...f(x_n)} \geq f\left(\sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n}\,\right) $$
ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเว้าเครื่องหมายอสมการก็จะกลับข้าง"

รบกวนผู้รู้ช่วยตรวจสอบให้ด้วยว่าอสมการนี้เป็นจริงหรือเปล่าครับ แต่ผมคิดว่าถ้าใส่ log เข้าไปทั้งสองข้างน่าจะพิสูจน์ได้ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 22 มีนาคม 2015, 12:58
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ถ้าหากเราพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชั่น $g(x)=ln[f(e^x)],x\in\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชั่นนูนก็จะทำได้ครับ

แต่ว่าเราได้ว่า

$$\frac{d^2g(x)}{dx^2}=\frac{e^x[f(e^x)[e^xf''(e^x)+f'(e^x)]-e^xf'(e^x)^2]}{f(e^x)^2}$$

ซึ่งเรายังไม่ทราบแน่นอนว่า $\frac{d^2g(x)}{dx^2}\geq 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง x หรือเปล่า

ผมจึงคิดว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ครับ รอผู้เชี่ยวชาญมายืนยันแล้วกันครับ
__________________
I'm Back

22 มีนาคม 2015 13:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 23 มีนาคม 2015, 00:41
Napper's Avatar
Napper Napper ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2014
ข้อความ: 26
Napper is on a distinguished road
Default

ฟังก์ชันนูนเค้านิยามแบบเชิงเส้นครับ มันเลยขยายเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้
แต่ถ้าเปลี่ยนเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแล้ว ก็ไม่ทราบครับ สมการอาจไม่จริงเสมอไปก็ได้นะครับ

Convex Function
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 27 มีนาคม 2015, 16:48
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ถ้างั้นก็คือวิธีที่เป็นไปได้ก็คือ ใส่ $ln$ ทั้งสองข้าง ขอขอบคุณทุกคนที่มาช่วยกันตอบด้วยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Jensen ineq FranceZii Siriseth อสมการ 12 18 กุมภาพันธ์ 2015 16:52
Jensen inequality เป็นยังไงเหรอครับ วิหก อสมการ 8 04 พฤษภาคม 2008 09:03

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:38


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha