Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 31 มีนาคม 2015, 17:58
~!!Arale!!~'s Avatar
~!!Arale!!~ ~!!Arale!!~ ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 กรกฎาคม 2014
ข้อความ: 11
~!!Arale!!~ is on a distinguished road
Default [สอวน. ม.เกษตรศาสตร์] ข้อสอบค่าย2/2557

-พีชคณิต-

1.ให้ $x_{1},x_{2},x_{3},...x_{2014}$ เป็นรากที่ไม่เท่ากับ$1$ ของพหุนาม $P(x)=x^{2015} -1 \\$
จงแสดงว่า $\frac{1}{1-x_{1}}+\frac{1}{1-x_{2}}+...+\frac{1}{1-x_{2014}}=1007$

2. จงแยกตัวประกอบของ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x)+2xyz$

3. $\sum_{x=1}^{2015} \frac{x(x+1)^{2}x+2^{2}+x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2^{2})}$ มีค่าเท่าไร

4. $x+y+z=p\\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=p^{2}\\
x^{3}+y^{3}+z^{3}=3p^{2}-2p^{3}\\$
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า2 จงหาค่า $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการนี้


-ทฤษฎีจำนวน-

1. ให้ $x\equiv 3 (mod\,5)\\
x\equiv 2 (mod\,6)\\
x\equiv 4 (mod\,7)\\$
จงหาผลเฉลยของระบบสมการนี้

2. $a^{\phi(m)} \equiv 1 (mod\,m)\\
a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\,n)\\
จงแสดงว่า a^{\phi(mn)} \equiv 1 (mod\,mn)$

3. จงแสดงว่า ($2^{2^{p}}$$+1$, $2^{2^{q}}$$+1$, $2^{2^{r}}$$+1$)
เมื่อ $p,q,r$ เป็นจำนวนนับที่แตกต่างกัน

4. $ให้\,m,n\in\mathbb{N} \qquad ถ้า \,m|n\\
จงแสดงว่า \,\phi(m)|\phi(n)$


-สมการเชิงฟังก์ชัน-

1. หา $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \,ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ โดย $f(1)=2$

2. หา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\, ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

3. ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,ซึ่งสอดคล้อง$
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$
จงแสดงว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$


-คอมบินาทอริก-

1. มีไพ่สำรับหนึ่งซึ่งมีไพ่อยู่$2n$ ใบ เขียนหมายเลขบนไพ่ในสำรับนี้ ตั้งแต่$1,2,3,...,n$ โดยแต่ละหมายเลขจะเขียนบนไพ่$2$ใบ
ทำการสับไพ่ในสำรับนี้ จงหาจำนวนวิธีสับไพ่ โดยที่ไพ่หมายเลขเดียวกันจะไม่อยู่ติดกันเลย

2. ให้เซต $(x,y)|x,y\in{0,1,2,...,n}$ เป็นเซตของจุดบนระนาบ
จงแสดงว่า มีเซตขนาด$3n$ ซึ่งไม่มีสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดมุมอยู่ในเซตนี้ทั้ง$4$จุดได้

3. ให้เซต $A$ และเซต $B$ เป็นเซตจำกัดของจุดบนระนาบโดยไม่มีจุดใดร่วมกันเลย เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$B$
ก็จะผ่านจุดใน$A$ อย่างน้อย$1$จุด และ เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$A$ ก็จะผ่านจุดใน$B$ อย่างน้อย$1$จุด
จงแสดงว่า $AB$ จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มีเรขาคณิตด้วยนะคะ แต่แนบรูปไม่เป็นTT ซักพักจะลงให้ค่ะ
__________________
You are in control of your destiny,

Only you can make your dreams come true.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 31 มีนาคม 2015, 20:40
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

FE
1.$f(x)=x+1 ,\quad \forall x \in \mathbb{Q}$

2.$P(x,y) : f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

$P(0,y) : f(f(y))=y+f(0)^2 $ f is a bijection -----1

$\exists u \in \mathbb{R}$ such that $f(u)=0$

$P(u,u) : f(0)=u$ แทนกลับใน 1

$f(f(0))=0=f(0)^2$ ดังนั้น $f(0)=0$

$P(0,y) : f(f(y))=y$

$P(f(x),0) : f(f(x)x)=x^2=f(x)^2$ จะได้ว่า $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $

$\exists a\not= b \in \mathbb{R} , f(a)=a,f(b)=-b$

แทนค่ากลับจะได้ $a=b=0$ ขัดแย้ง จะได้ว่า ถ้า $a\not=b$ แล้ว $f(a)=f(b)$

แทนค่ากลับเพื่อตรวจคำตอบจะได้ $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

31 มีนาคม 2015 20:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 31 มีนาคม 2015, 20:53
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

Algebra

1.วิธีนี้สวยดีครับ

$$x^{2014}+x^{2013}+....+x+1=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{2014})$$

$$\ln(x^{2014}+x^{2013}+....+x+1)=\ln(x-x_{1})+\ln(x-x_{2})+...+\ln(x-x_{2014})$$

$$\frac{d}{dx}\ln(x^{2014}+x^{2013}+....+x+1)=\frac{d}{dx} \ln(x-x_{1})+\ln(x-x_{2})+...+\ln(x-x_{2014})$$

$$\frac{1}{x^{2014}+x^{2013}+....+x+1}(2014x^{2013}+2013x^{2012}+....+2x+1)=\frac{1}{x-x_{1}}+\frac{1}{x-x_{2}}+...+\frac{1}{x-x_{2014}}$$

แทน $x=1$ จบคร้าบ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

31 มีนาคม 2015 20:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 13 เมษายน 2015, 02:16
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~!!Arale!!~ View Post

3. $\sum_{x=1}^{2015} \frac{x(x+1)^{2}x+2^{2}+x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2^{2})}$ มีค่าเท่าไร
ข้อนี้ โจทย์ถูกหรือเปล่าครับ ดูแปลก ๆ ชอบกล โดยเฉพาะตำแหน่งของ $x$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 13 เมษายน 2015, 17:06
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

มาบอกใบ้ Number Theory ให้


ส่วนเรื่องเรขาโพสต์เป็นข้อความมาก็ได้ครับ ไม่เป็นไรครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 14 เมษายน 2015, 16:42
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

มาต่อกันที่ algegra (ข้อ 3-4 ผมคิดว่าโจทย์น่าจะผิด)

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 15 เมษายน 2015, 15:23
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ข้อ 4

จัดรูปสมการ จะได้ $x+y+z=p,xy+yz+zx=0,xyz=p^3-p^2$

ดังนั้น $x,y,z$ จะเป็นรากของสมการ $t^3-pt^2-p^3+p^2=0$ ที่เหลือผมว่าคงต้องคาร์ดานแล้วแหละ :P
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
[สอวน. สวนกุหลาบ 2557] ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2557 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย น้องเจมส์ ข้อสอบโอลิมปิก 7 05 พฤศจิกายน 2016 15:36
สอวน. ม.เกษตรศาสตร์ ค่าย1/2557 สอบครั้งที่1 ~!!Arale!!~ ข้อสอบโอลิมปิก 6 16 เมษายน 2015 16:49
มีเฉลย สสวท 2557 ป.3 ไหมครับ รบกวนด้วย สฤษธิชัย ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมต้น 4 21 พฤศจิกายน 2014 22:36
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น 22 16 ธันวาคม 2013 09:56
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 1 10 พฤศจิกายน 2013 04:56

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:14


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha