ข้อสอบ สพฐ รอบ2 ปี2557

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์

ข้อล่างสุดได้ 90606 ครับ มีใครตรงบ้างครับ
เห็นบางคนได้ 89403 ครับ

ผมลองทดดูได้ว่า ถ้า $\frac{x-y}{y-z} + \frac{y-z}{z-x} + \frac{z-x}{x-y} = k$

แล้วจะได้ว่า $\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2} + \frac{(y-z)^2}{(z-x)^2} + \frac{(z-x)^2}{(x-y)^2} = (k+1)^2 + 5$

ดังนั้นจะได้คำตอบเป็น $300^2 + 5 = 90005$ ถ้าทดไม่ผิดนะครับ.

[maxsupanut]

ผมได้90606ครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง

แสดงวิธีทำ 20คะแนน
ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมี n หลัก ถ้าเขียน x 2ตัวต่อกัน กลายเป็น 2n หลัก ซึ่งหารด้วย $x^2$ ลงตัว จงพิสูจน์ว่า 2หลักแรกของ x คือ1 และ4 ตามลำดับ

Outline of Proof

โจทย์กำหนด $ x^2 \,\,| \,\, \overline{xx} = x(10^n+1) \Rightarrow x | 10^n+1 $

แต่ x เป็นเลข n หลัก ดังนั้น $ 10^n+1 $ แยกตัวประกอบเป็น (x)(y) โดย y เป็นเลขโดด มากกว่า 1

เห็นได้ชัดว่า y เป็นเลขคี่ ที่ไม่ใช่ 3 ,5,9 (เพราะ $ 3 ,5 \nmid 10^n+1 $) ดังนั้นเหลือ option เดียว คือ y = 7

ตั้งหารยาว เอา 7 ไปหาร $ 10^n+1 $ จะพบว่า 2 ตัวแรกของผลหาร x คือ 1 ,4 เสมอ


Extra Note : จริงๆ แล้ว จะได้ว่า n อยู่ใน form 6j+3 ด้วย

[artty60]

#14
ถึกไปเลยก็ได้ครับ หรือถ้ารู้เรื่องNewton identity ก็จะได้คำตอบง่ายขึ้นครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

เพิ่มเติมต่ะ
1.กำหนดให้ 0,1,2,5,6,8,9 หมุน 180 องศาแล้วได้ 0,1,2,5,9,8,6 จงหาว่า 9105 หมุน 180 องศาแล้วได้เลขอะไร...(จำช้อยไม่ได้ )

x.(ข้อสอบภาษาอังกฤษ) ถ้า $x^2+(sin\theta) x+1=0$ มีรากคือ aและb
$x^2+(cos\theta) x-1=0$ มีรากคือ cและd

แล้ว จงหาค่าของ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}$

solution

$a+b = -\sin \theta$
$ab = 1$
$c+d=-\cos \theta$
$cd = -1$
$1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 = \frac{(a+b)^2-2ab}{(ab)^2} + \frac{(c+d)^2-2cd}{(cd)^2} = \sin^2 \theta -2 + \cos^2 \theta + 2 = 1$

4.นักแบดมินตัน 29 คน จัดแบ่งทั้งหมด 3ทีม ถ้าการแข่งขันเป็นการแข่งที่ไม่มีการแข่งในทีมเดียวกันเลย และเมื่อแข่งแต่ละคู่แล้ว จะแข่งคู่ละ1ครั้งเท่านั่น จงหาว่า จะมีการแข่งขันมากที่สุดกี่รอบ

solution

ให้นักกีฬาทีมแรกมี x คน, ทีมที่สองมี y คน, ทีมที่สามมี 29-x-y คน

ดังนั้นจะมีการแข่งขันทั้งหมด $xy+x(29-x-y)+y(29-x-y)$ ครั้ง

ให้ $f(x, y) = xy+x(29-x-y)+y(29-x-y) = \frac{29^2}{3} - [(x+\frac{y-29}{2})^2+\frac{3}{4}(y-\frac{29}{3})^2] \le \frac{29^2}{3} = \frac{841}{3} = 280\frac{1}{3}$

ซึ่งเกิดเมื่อ $x = y = \frac{29}{3}$

นั่นคือการแข่งขันสูงสุดจะต้องไม่เกิน 280 ครั้ง

และเนื่องจาก $\frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$ ดังนั้นถ้าเลือก $x=y=10$ จะได้ f(x, y) = 280 ครั้งจริง

x.(ข้อสอบภาษาอังกฤษ) ถ้า $\frac{x-y}{y-z}+\frac{y-z}{z-x}+\frac{z-x}{x-y}=299$ แล้ว
จงหาค่าของ $(\frac{x-y}{y-z})^2+(\frac{y-z}{z-x})^2+(\frac{z-x}{x-y})^2=?$

solution

ให้ $a = x-y, b = y-z, c = z-x$

ดังนั้น $a/b + b/c + c/a = k$ โดยที่ $a+b+c = 0$

แล้ว $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 + 2(a/c + b/a + c/b)= k^2$

แต่ว่า $(a/b + b/c + c/a) + (a/c + b/a + c/b) = a(1/b + 1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/a+1/b)$

$= -(a^3+b^3+c^3)/abc = -3abc/abc = -3$

ดังนั้น $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 + 2(-3 - k) = k^2$

จึงได้ $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = (k+1)^2 + 5 = (299+1)^2+5$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง

$P=\overline{abcabc} โดย P เกิดจากผลคูณของจำนวนเต็มบวก 3จำนวนเรียงกัน จงหาผลรวมทุกค่าของ P $

solution

$\overline{abcabc} = 1001\overline{abc} = 7 \times 11 \times 13 \overline{abc}$

$13 \times 1 = 13$ แล้ว $11 \times 12 \times 13$ ไม่ได้

$13 \times 2 = 26$ แล้ว ไม่มีตัวประกอบของ 11 ที่ใกล้ ๆ เลย

...

$13 \times 6 = 78$ แล้ว $77 \times 78 \times 79 = 7\times 11 \times 13 \times 474$

หรือ $76 \times 77 \times 78 = 7 \times 11 \times 13 \times 456$

ดังนั้น P = 456456 หรือ 474474

ที่เหลือคือ $13 \times 7$ ใช้ไม่ได้ และ $13 \times 8$ ขึ้นไป จะมากกว่า 6 หลัก จึงหมดแล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maths Aprrentice

กำหนด $x\in R$ และ $y = (19-x)(17-x)(17+x)(19+x)$
ค่าของ y ที่เป็นไปได้น้อยที่สุดคือเท่าไหร่

Let x be a real number and $y = (19-x)(17-x)(17+x)(19+x)$, then what is the smallest possible value of y?

ผมทำมาได้ $-1296$ ได้เหมือนกันป่าวอะครับ

$y = (x^2 - \frac{17^2 + 19^2}{2})^2 - \frac{(17^2 - 19^2)^2}{4}$

ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $- \frac{(17^2 - 19^2)^2}{4} = -36^2 = -1296$

[Guntitat Gun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

เพิ่มเติมต่ะ
1.กำหนดให้ 0,1,2,5,6,8,9 หมุน 180 องศาแล้วได้ 0,1,2,5,9,8,6 จงหาว่า 9105 หมุน 180 องศาแล้วได้เลขอะไร...(จำช้อยไม่ได้ )

ข้อนี้ตอบ 5016 ครับ

[Guntitat Gun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ให้ $f(x) = (x-1)(x-3)(x-5)+x$ และ $g(x) = (x-1)(x-3)(x-5)+3$ ดังนั้น $x=3$

มีค่าอื่นหรือเปล่าไม่รู้นะครับ เสกตัวนี้ได้พอดี

ข้อนี้คุณ gon น่าจะคิดถูกแล้วนะครับ
เพราะว่า เท่าที่ผมจำช้อยส์ได้คือ จะมีช้อยส์เดียวที่มีค่า 3 อยู่ครับ
ช้อยส์อื่นจะแสดงแรนจ์ที่ต่ำกว่าสามหมดเลยครับ
มีช้อยส์ข้อเดียวที่บอกว่า x=3 ครับ
--ขอคารวะ--

[Guntitat Gun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion

กำหนดให้แบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหลาย ๆ รูป โดยที่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน ถามว่า ข้อใดไม่สามารถเป็นจำนวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แบ่งได้

ก) 5 ข) 6 ค) 7 ง) 8 จ) 9

ข้อนี้ตอบ ก. 5 ครับ

[Guntitat Gun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

6.กำหนด สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มี AB//CD ,M เป็นจุดกึ่งกลาง BC ทำให้พื้นที่ของ สามเหลี่ยม AMD เท่ากับ 10 ตารางหน่วย(หรือตารางเซนติเมตรอ่ะ...จำไม่ได้ ) จงหาพื้นที่ของ สี่เหลี่ยม ABCD

ข้อนี้ตอบ 20 ครับ ผมยังนึกรูปไม่ออกครับ แต่จำคำตอบได้
ประมาณว่าเอาสามเหลี่ยมที่ไม่ได้แรเงาด้านบน เอาด้านที่เท่ากับสามเหลี่ยมด้านล่าง มาประกบกัน
จะเห็นภาพว่าสามเหลี่ยมมีพื้นที่เท่ากันครับ
ผู้รู้ท่านใดโปรดกรุณาช่วยวาดรูปให้กระผมด้วยขอรับ
ขอขอบพระคุณล่วงหน้ามากครับ
--ขอคารวะ--

[maxsupanut]

นำเลข1ถึง10 มาแบ่งเป็น2กลุ่ม แล้วเอาสมาชิกทุกตัวในแต่ละกลุ่มมาคูณกัน ผลลัพท์ของกลุ่มแรกหารกลุ่มสองเป็นจำนวนเต็ม จงหาผลหารที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

6.กำหนด สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มี AB//CD ,M เป็นจุดกึ่งกลาง BC ทำให้พื้นที่ของ สามเหลี่ยม AMD เท่ากับ 10 ตารางหน่วย(หรือตารางเซนติเมตรอ่ะ...จำไม่ได้ ) จงหาพื้นที่ของ สี่เหลี่ยม ABCD

(วาดให้คำนวณง่ายๆ)โดยให้ส่วนสูงของสามเหลี่ยม $AMD=\dfrac{1}{2}(AB+CD)$

ส่วนอีกข้อ

กำหนด สี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AB=3,BC=5,CD=6,DA=10 ถ้าเส้นทแยงมุม AC เป็นจำนวนเต็ม แล้ว
สี่เหลี่ยม ABCD จะมีได้ทั้งหมดกี่แบบ

เนื่องจาก $4>AC <8$

ดังนั้น $AC=5,6,7$

เพราะฉะนั้นสี่เหลี่ยมABCDเป็นได้3แบบ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ maxsupanut

นำเลข1ถึง10 มาแบ่งเป็น2กลุ่ม แล้วเอาสมาชิกทุกตัวในแต่ละกลุ่มมาคูณกัน ผลลัพท์ของกลุ่มแรกหารกลุ่มสองเป็นจำนวนเต็ม จงหาผลหารที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้

ข้อนี้แยกตัวประกอบทั้งหมดได้เป็น (1)(2)(3)(2*2)(5)(2*3)(7)(2*2*2)(3*3)(2*5)

จะเห็นว่ามี1และ7อย่างละตัว ดังนั้น 7 ต้องอยู่กลุ่มบน เป็นตัวหารไม่ได้

2 มี8ตัว 3 มี4ตัว 5 มี2ตัว กลุ่มนี้ต้องไปสลับกันเป็นตัวหารซึ่งจะเหลือค่าน้อยสุดเมื่อผลหาร=1

ดังนั้นผลหารที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดคือ 7 เป็นคำตอบ

ซึ่งจัดกลุ่มทั้งสองได้หลายแบบดังนี้

$1.\dfrac{(1)(7)(8)(9)(10)}{(2)(3)(4)(5)(6)}$

$2.\dfrac{(2)(5)(7)(8)(9)}{(1)(3)(4)(6)(10)}$

$3.\dfrac{(3)(4)(6)(7)(10)}{(1)(2)(5)(8)(9)}$

$4.\dfrac{(3)(5)(6)(7)(8)}{(1)(2)(4)(9)(10)}$