Old + Nice inequality from China TST (Also can be seen in MOSP)

[RoSe-JoKer]

$a,b,c\in R+$
$a+b+c=1$
show that
$\sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
เก่ามากแล้ว แล้วก็สวยมากด้วย เอามาแบ่งปันครับ
เห็น forum อสมการก็เงียบไปพอสมควร เลยลองปลุกด้วยโจทย์จากประเทศจีนบ้าง LOL

[littledragon]

hint หน่อยครับ

[RoSe-JoKer]

เท่าที่คิดได้มี 2 วิธีครับ
Hint method 1: เอา 3 ก้อนนั้นมาบวกกัน (ทำส่วนให้เหมือนกัน) แล้วจะเห็นอะไรดีๆ
Hint method 2: Cauchy ->Schur

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เท่าที่คิดได้มี 2 วิธีครับ
Hint method 1: เอา 3 ก้อนนั้นมาบวกกัน (ทำส่วนให้เหมือนกัน) แล้วจะเห็นอะไรดีๆ
Hint method 2: Cauchy ->Schur

$$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$
กระจายแล้วครับได้
$$\frac{ab\sqrt{abc+a^2c^2}+bc\sqrt{abc+a^2b^2}+ac\sqrt{abc+b^2c^2}}{abc(ab+bc+ac)-a^2b^2c^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$
จากอสมการ AM.-GM. จะได้
$$\frac{ab(\frac{2ac+b}{2})+bc(\frac{2ab+c}{2})+ac(\frac{2bc+a}{2})}{abc(ab+bc+ac)- a^2b^2c^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} $$
แล้วจัดรูปจะได้ว่าอสมการสมมูลกับ
$$\frac{2abc+ab^2+bc^2+a^2c}{2abc(bc+ac+ab)-2a^2b^2c^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$
แล้วทำไงต่ออะครับ

[littledragon]

เงียบจังนะครับ

[RoSe-JoKer]

จาก #4 คิดว่าไปต่อไม่ได้แล้วครับ เพราะอสมการนั้นมันไม่จริง - -" ลองคิดใหม่นะครับ

[Keehlzver]

วิธีผมนะครับ ไม่รู้ไปซ้ำกับใครหรือเปล่า เขียนอสมการได้ใหม่เป็น $\Sigma a\sqrt{\frac{b}{1-b}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$ เลือกฟังก์ชั่น $y=f(x)=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ บนช่วง Concave $D_f=(o,\frac{1}{3}]$ โดยอสมการ Jensen ถ่วงน้ำหนัก $$L.H.S.\leqslant\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{1-(ab+bc+ca)}}$$ เเละใช้เอกลักษณ์ $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

เป็นกาีรเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$\sqrt{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{1+a^2+b^2+c^2}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $$3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$$ Homogenize เป็น $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2$ ซึ่งสมมูลกับ $\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geqslant 0$


ผิดถูกยังไงก็บอกนะครับ จริงๆเเล้วผมทำตาม Hint ของคุณ Rose-Joker ไม่ออก เเต่อยากเห็นวิธีทำมากครับผม ขอความกรุณาด้วยครับ

[dektep]

โดยอสมการโคชีได้ว่า $$\sum_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}} = \sum_{cyc}\sqrt{ab}\sqrt{\frac{a}{a+c}}$$
$$\le \sqrt{ab+bc+ca}\sqrt{\sum_{cyc}\frac{a}{a+c}} \le \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ไม่ได้เข้ามานานมากแล้วครับแทบพิมพ์ latex ไม่ได้เลย

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

โดยอสมการโคชีได้ว่า $$\sum_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}} = \sum_{cyc}\sqrt{ab}\sqrt{\frac{a}{a+c}}$$
$$\le \sqrt{ab+bc+ca}\sqrt{\sum_{cyc}\frac{a}{a+c}} \le \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ไม่ได้เข้ามานานมากแล้วครับแทบพิมพ์ latex ไม่ได้เลย

ถ้าอย่างนั้น ก็ยินดีต้อนรับการกลับมาของคุณ dektep ด้วยนะครับ

[Keehlzver]

คุณเด็กเทพๆไม่ได้เห็นซะนานนะครับ หวัดดีครับ

สอบวันที่ 30 นี้ผมควรเตรียมตัวยังไงดีครับ ขอคำเเนะนำหน่อยครับ