สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

[SeRpEnTSorTia]

ดูไม่เป็น เวลาพจน์ที่ซํ้าของ $Y_{c}$ กับ $Y_{p}$
แล้วให้เอา $x^{s}$ ไปคูณพจน์ที่ซํ้าของ $Y_{p}$

ช่วยอธิบายจากโจทย์ก็ได้

จงหารูปแบบของผลเฉลย $Y_{p}$ ของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้

$$(D-2)(D^{2}-4D+4)y = xe^{2x}+x^{2}e^{3x}$$

---> สมการช่วย
$(m-2)(m^{2})-4m+4)=0$
$(m-2)(m-2)(m-2)=0$
$m=2 , 2 , 2$

$y_{c}=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+c_{1}x^{2}e^{2x}$

---> $g(x)= xe^{2x}+x^{2}e^{3x}$

$y_{p}=(Ax+B)e^{2x}+(Cx^{2}+Dx+E)e^{3x}$

มาถึงตรงนี้แล้ว งง เรื่องการปรับ $y_{p}$ ครับ
รู้เพียงว่าปรับ พจน์ของ $e^{2x}$
ผมจดในสมุดเป็นการเอา $x^{3}$ ไปคูณ
ทำไมถึงเอา $x^{3}$ ไปคูณ
ขอบคุณครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมของคุณ SeRpEnTSorTia:
ดูไม่เป็น เวลาพจน์ที่ซํ้าของ $Y_{c}$ กับ $Y_{p}$
แล้วให้เอา $x^{s}$ ไปคูณพจน์ที่ซํ้าของ $Y_{p}$

ช่วยอธิบายจากโจทย์ก็ได้

จงหารูปแบบของผลเฉลย $Y_{p}$ ของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้

$$(D-2)(D^{2}-4D+4)y = xe^{2x}+x^{2}e^{3x}$$

---> สมการช่วย
$(m-2)(m^{2})-4m+4)=0$
$(m-2)(m-2)(m-2)=0$
$m=2 , 2 , 2$

$y_{c}=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+c_{1}x^{2}e^{2x}$

---> $g(x)= xe^{2x}+x^{2}e^{3x}$

$y_{p}=(Ax+B)e^{2x}+(Cx^{2}+Dx+E)e^{3x}$

มาถึงตรงนี้แล้ว งง เรื่องการปรับ $y_{p}$ ครับ
รู้เพียงว่าปรับ พจน์ของ $e^{2x}$
ผมจดในสมุดเป็นการเอา $x^{3}$ ไปคูณ
ทำไมถึงเอา $x^{3}$ ไปคูณ
ขอบคุณครับ

พอเราได้ complementary solution เป็น $\; \; y_{c}=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+c_{3}x^{2}e^{2x}$ ต่อไปเราก็จะสมมติ $y_p$ ใช่ไหมครับ
มองจากฝั่งขวาเราก็จะสมมติฟังก์ชันในรูป $\; \; y_{p}=(Ax+B)e^{2x}+(Cx^{2}+Dx+E)e^{3x}$
เทอมหลังไม่มีปัญหานะครับเพราะว่าไม่ซ้ำกับ $y_c$ เลยหาส่วน particular solution จากเทอมนี้ได้ทันที

แต่จะเห็นว่า $(Ax+B)e^{2x}$ ซ้ำกับเทอมของ $c_1e^{2x}+c_2e^{2x}$ จึงคูณ $x$ เข้าไป กลายเป็น $y_{p1}= x(Ax+B)e^{2x} = (Ax^2+Bx)e^{2x}$ แต่ว่ายังคงซ้ำกับเทอม $c_{2}xe^{2x}+c_{3}x^{2}e^{2x}$ อยู่อีก คูณ $x$ เข้าไปอีกครั้ง
เป็น $y_{p2}= x^2(Ax+B)e^{2x} = (Ax^3+Bx^2)e^{2x}$ แต่ว่าส่วน $Bx^2e^{2x}$ ยังคงซ้ำกับเทอม $c_{3}x^{2}e^{2x}$ อยู่อีก คูณ $x$ เข้าไปอีกครั้ง
ได้ $y_{p3}= x^3(Ax+B)e^{2x} = (Ax^4+Bx^3)e^{2x}$ ซึ่งจะเห็นว่าไม่ซ้ำกับ $y_c$ แล้วก็เอาไปแทนค่าได้แล้วครับ โจทย์ก็เลยสรุปว่าต้องคูณด้วย $x^3$ ครับ แต่โหดเหมือนกันนะครับ ตอนแทนค่าใช้พลังไม่เบาทีเดียว